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2013-10141-0101
2013 福島大学 前期
理工学群
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問い(1)〜(3)に答えなさい.
(1) 11 の整数部分を a , 小数部分を b とする.
1 b+ a2 の値を求めなさい.
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(2) x= 3+13 2 のとき, x 10-1 x5 の値を計算しなさい.
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(3) a1= 2 ,a n+1 +3⁢ an= 4 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) で定まる数列 { an } の第 n 項を求めなさい.
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【2】 直角三角形 ABC があり, ∠A =π 2 ,∠ B=θ , BC=a である.頂点 A から辺 BC に垂線 AP 1 を下ろし,点 P 1 から辺 AB に垂線 P1 Q1 を下ろす.同様に,点 Q1 から辺 BC に垂線 Q1 P2 を下ろし,点 P2 から辺 AB に垂線 P2 Q2 を下ろす.この操作を繰り返し,辺 BC 上に点 P1 , P 2 ,P 3 を,辺 AB 上に点 Q1 , Q 2 ,Q 3 をそれぞれ定める.また, AP1 と CQ 1 の交点を R1 , Q1 P2 と P1 Q2 の交点を R2 , Q 2P 3 と P2 Q3 の交点を R3 とする.
以下の問い(1)〜(4)に答えなさい.
(1) AP1 , P 1Q 1 の長さを求めなさい.
(2) CR1 → を CP1→ と CA → を用いて表しなさい.
(3) ▵R 1P 1C の面積 S 1 を求めなさい.
(4) ▵R 3P 3P 2 の面積 S 2 を求めなさい.
2013-10141-0105
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【3】 表・裏の出る確率が共に 12 の硬貨が 4 枚ある.この 4 枚の硬貨を同時に投げる.以下の問い(1)〜(2)に答えなさい.
(1) 表の出る枚数の期待値を求めなさい.
(2) 表の出た枚数と裏の出た枚数が同じならば 100 点, 4 枚全てが表ならば 50 点, 4 枚全てが裏ならば 30 点,それ以外の場合は 0 点とする.このとき,得点の期待値を求めなさい.
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【4】 n を自然数とし, an , bn を次のようにおく.
an= - ∫0π ( ex+ e-x )⁢ sin⁡2⁢ n⁢x⁢ dx ,b n= ∫0π ( ex-e -x )⁢cos ⁡2⁢n ⁢x⁢d x
以下の問い(1)〜(3)に答えなさい.
(1) an と b n をそれぞれ求めなさい.
(2) ∫ nn+1 14⁢ x2-1 ⁢ dx を計算しなさい.
(3) 次の不等式が成り立つことを示しなさい.
(4⁢ n2+ 1)⁢ bn 4⁢n2 -1 > eπ- e-π -2 4⁢ log⁡ (2 ⁢n+1 )2 (2 ⁢n-1 )⁢( 2⁢n+3 )