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2013-10141-0201
2013 福島大学 後期
人文社会(人間発達文化学科)学群
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えなさい.
(1) x を実数とするとき, 4⋅3 x+3 1-x の最小値と,最小値を与える x の値を求めなさい.
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(2) a>b> c とするとき,不等式 a -ba 2⁢b 2+ b -cb 2⁢c 2> a -ca 2⁢c 2 を示しなさい.
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(3) 次の不等式を解きなさい.
cos⁡( x+ π6 )+sin ⁡x> 12 ( 0≦x< 2⁢π )
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【2】 関数 y =|x |+ |x- 2|- |x⁢ (x- 2) | について,次の問いに答えなさい.
(1) この関数のグラフをかきなさい.
(2) (1)のグラフと x 軸で囲まれた図形の面積を求めなさい.
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【3】 ▵ABC において, AB=8 , BC=4 , CA=6 のとき,次の問いに答えなさい.
(1) ∠A , ∠B , ∠C のうち最小の余弦の値を求めなさい.
(2) ▵ABC の内接円の半径を求めなさい.
(3) ∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき, AD の長さを求めなさい.
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【4】 -2≦ x≦4 のとき,不等式
x2+ (a- 4)⁢ x+2⁢ a>0
が成立する実数 a の範囲を求めなさい.
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【5】 座標平面において, x 座標と y 座標が両方とも整数である点 ( x,y ) を格子点と呼ぶ.
関数 y =log3 2⁡x のグラフと x 軸および直線 x =4 で囲まれた部分(境界線上を含む)にある格子点の個数を求めなさい.
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理工学群
(1) 次の不等式を解なさい.
2x3 -5⁢x> -x2- 2
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(2) 次の方程式を解なさい.
2⁢cos 2⁡x+ 5⁢sin⁡ x=4 ( 0≦ x<2⁢ x)
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(3) 次の不定積分を求めなさい.
∫ x 3+2⁢ xx2 +1 ⁢d x
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(4) 次の関数を微分しなさい.
y= 12⁢ ex ⁢(sin ⁡x-cos⁡ x)
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【2】 2 つの関数 f ⁡(x )=log e⁡a⁢ x2- 1 と g ⁡(x )=x 2 がある.ただし, a は定数とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) f⁡( -1) の値を求めなさい.また, x=-1 における曲線 y =f⁡( x) の接線の方程式を求めなさい.
(2) 曲線 y =f⁡( x) と曲線 y =g⁡( x) が接するような定数 a の値を求めなさい.また,このとき, y=f⁡ (x ), y=g ⁡(x ), および x 軸によって囲まれる部分の面積を求めなさい.
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【3】 平面上に 3 点 A ( 5,0 ), B ( 8,9 ), C (0 ,5) がある.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) 三角形 ABC の外接円の中心の座標および半径を求めなさい.
(2) ∠CBA の大きさを求めなさい.
(3) 三角形 ABC の面積を求めなさい.
(4) 点 B を通り,三角形 ABC の外接円に接する直線の傾きを求めなさい.
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【4】 t に関する関数 g ⁡(t ) を
g⁡( t)=A ⁢( 12 ) t2+ b⁢( 12 ) t30 ( A , B は定数)
とする.このとき,次の問いに答えなさい.ただし, log10 ⁡2=0.301 とする.
(1) A=2 15 ,B= 216 とするとき, g⁡( 30) の値を求めなさい.
(2) A=1 , B=1 とし, h⁡( t)= ( 12 ) t30 とするとき, g⁡( t)- h⁡( t)< 10-3 となる t の範囲を求めなさい.
(3) A=1 , B=1 とするとき, g⁡( t)< 10-1 となる最小の整数 t を求めなさい.必要ならば, x<10 -3 のとき, log10 ⁡(1 +x) <0.5⁢ x が成り立つことを用いてもよい.