2013　茨城大学　後期MathJax

(1)　$a\text{，}b$のうち少なくとも一方は偶数であることを示せ．

(2)　$a=9$のとき，$b\text{，}c$の組をすべて求めよ．

(1)　$\sin 2x=\cos x$を満たす$x$を$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において求めよ．

(2)　$\cos 3x$を$\cos x$を用いて表せ．

(3)　$a\text{，}b$は実数とする．$\cos 3x-a\sin 2x+b\cos x=0$を満たす$x$が$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$2$個あるような$a\text{，}b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．

(1)　不等式$k^{\frac{1}{3}}\geqq {10}^{\frac{1}{4}}$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$k$について，$4$以上の自然数$n$に対して${10}^{\frac{1}{n+1}}\geqq k^{\frac{1}{n}}$を満たすことを示せ．

　次の各問に答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{T}$を結ぶ線分の長さを求めよ．

(2)　正八面体$\mathrm{PQRSTU}$の体積を求めよ．

(3)　正八面体$\mathrm{PQRSTU}$の各面の重心をとり，辺を共有している面の重心を線分で結ぶと，正八面体$\mathrm{PQRSTU}$の内部に立方体を作ることができる．この立方体の体積を求めよ．

(1)　$s_0$を求めよ．

(2)　$s\ne s_0$のとき，直線$l$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$の面積の$2$倍を$f(s)$とする．また$f(s_0)$を，$f(s_0)=\underset{s\to s_0}{\lim }f(s)$で定める．$f(s)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$f(s)$の極限$\underset{s\to -\infty }{\lim }f(s)$を求めよ．なお，必要ならば，$x>0$のときに$e^x>{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3$が成り立つことを，証明なしに用いてよい．

(4)　(2)で求めた関数$t=f(s)$の増減，グラフの漸近線を調べ，そのグラフの概形をかけ．

$\mathrm{P}(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )\text{，}\mathrm{Q}(2\cos \theta ,-2\sin \theta )\text{，}\mathrm{R}(3\cos \theta ,3\sin \theta )$

を考える．以下の各問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$の長さの最大値と最小値を求めよ．また，それぞれの場合の$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$x=\cos \theta$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{QP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$x$を用いて表せ．

(3)　$x$を(2)のように定義するとき，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$の内積を最大にする$x$と最小にする$x$を求めよ．

(1)　$x$の値を求めよ．

(2)　$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(3)　$B^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(4)　$A^7+A^{6}B+A^5{B}^2+\cdots +A{B}^6+B^7$を求めよ．なお，必要ならば，行列$X\text{，}Y$が$XY=YX$を満たせば，任意の自然数$n\geqq 2$に対して

$(X-Y)(X^{n-1}+X^{n-2}Y+\cdots +X{Y}^{n-2}+Y^{n-1})=X^n-Y^n$

が成立することを証明なしに用いてよい．

(1)　$I_1$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$I_n$を$n$と$I_{n-1}$を用いて表せ．

(3)　$I_4$を求めよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表し，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

(3)　原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が作る三角形$\mathrm{OPQ}$を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V(t)$とする．$t$が$0<t<1$の範囲を動くときの$V(t)$の最大値とそのときの$t$を求めよ．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を製造するために$1$日に用いることのできる原料の総量が$18\mathrm{kg}\text{，}$総電力量が$10\mathrm{kWh}$であるとき，最大の利益を得るには$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をそれぞれ何単位ずつ製造すればよいか求めよ．また，そのときの利益も求めよ．

(2)　電力不足のため$1$日に用いることができる総電力量が(1)の状況から$20\mathrm{\%}$減少した．このとき，最大の利益は(1)のときに比べて何$\mathrm{\%}$減少するか？小数点以下第$1$位を四捨五入して答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}f(a_n)$の和を求めよ．