2013　筑波大学　前期MathJax

【１】　$f(x)\text{，}g(t)$を

$f(x)=x^3-x^2-2x+1$

$g(t)=\cos 3t-\cos 2t+\cos t$

とおく．

(1)　$2g(t)-1=f(2\cos t)$が成り立つことを示せ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{7}}$のとき，$2g(\theta )\cos \theta =1+\cos \theta -2g(\theta )$が成り立つことを示せ．

(3)　$2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{7}}$は$3$次方程式$f(x)=0$の解であることを示せ．

【２】　$n$は自然数とする．

(1)　$0\leqq k\leqq n$を満たす自然数$k$に対して

${\displaystyle {\int }_{\frac{k-1}{2n}\pi }^{{\displaystyle \frac{k}{2n}}\pi }}\sin 2nt\cos tdt={(-1)}^{k+1}{\displaystyle \frac{2n}{4n^2-1}}(\cos {\displaystyle \frac{k}{2n}}\pi +\cos {\displaystyle \frac{k-1}{2n}}\pi )$

が成り立つことを示せ．

(2)　媒介変数$t$によって

$x=\sin t\text{，}y=\sin 2nt\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．ただし必要なら

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\cos {\displaystyle \frac{k}{2n}}\pi ={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4n}}}}-1)\text{（}n\geqq 2\text{）}$

を用いてよい．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　$xyz$空間において，点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$を通る平面上にあり，正三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円板を$D$とする．円板$D$の中心を$\mathrm{P}\text{，}$円板$D$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．

(3)　円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．

(4)　円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

【４】　$3$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$が

$b_{n+1}=-c_n-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$c_{n+1}=-a_n-b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

および$a_1=a\text{，}{b}_1=b\text{，}{c}_1=c$を満たすとする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数とする．

(1)　$p_n=a_n+b_n+c_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられる数列$\{p_n\}$の初項から第 $n$項までの和$S_n$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)

$q_n={(-1)}^n\{{(a_n)}^2+{(b_n)}^2+{(c_n)}^2\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられる数列$\{q_n\}$の初項から第$2n$項までの和を$T_n$とする．$a+b+c$が奇数であれば，すべての自然数$n$に対して$T_n$が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ．

【５】　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について以下の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数とする．

(1)　$A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$を満たす$A$は存在しないことを示せ．

(2)　$A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$を満たす$A$をすべて求めよ．

(3)　(2)で求めた$A$のそれぞれについて$A+A^2+A^3+\cdots +A^{2013}$を求めよ．

【６】　楕円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{16}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$の，直線$y=mx$と平行な$2$接線を$l_1\text{，}{l_1}^{\prime }$とし，$l_1\text{，}{l_1}^{\prime }$に直交する$C$の$2$接線を$l_2\text{，}{l_2}^{\prime }$とする．

(1)　$l_1\text{，}{l_1}^{\prime }$の方程式を$m$を用いて表せ．

(2)　$l_1$と${l_1}^{\prime }$の距離$d_1$および$l_2$と${l_2}^{\prime }$の距離$d_2$をそれぞれ$m$を用いて表せ．

　ただし，平行な$2$直線$l\text{，}{l}^{\prime }$の距離とは，$l$上の$1$点と直線$l^{\prime }$の距離である．

(3)　${(d_1)}^2+{(d_2)}^2$は$m$によらず一定であることを示せ．

(4)　$l_1\text{，}{l_1}^{\prime }\text{，}{l}_2\text{，}{l_2}^{\prime }$で囲まれる長方形の面積$S$を$d_1$を用いて表せ．

　さらに$m$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【４】必須

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【４】必須

　国際総合学類　数学III・C選択者　【２】か【３】から１題，【５】か【６】から1題選択

人間学群

　教育学類，障害科学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【４】必須

　　数学III選択者　【２】，【３】必須

　　数学C選択者　【５】，【６】必須

　心理学類　【１】，【４】必須，【２】，【３】，【５】，【６】から2題選択

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択

　地球学類　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

理工学群

　数学類，物理学類，化学類

　　　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

　応用理工学類，工学システム学類

　　　【２】，【３】必須，【１】と【４】〜【６】から３題選択

　社会工学類

　　　【２】，【３】必須，【１】か【４】から1題，【５】か【６】から1題選択

情報学群

　情報科学類，情報メディア創成学類

　　　【２】，【３】，【５】，【６】必須， 【１】か【４】から1題選択

　知識情報・図書館学類　【１】〜【３】から1題選択，【４】〜【６】から1題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択