2013　筑波大学　後期理工学群小論文MathJax

【１】　各項が$x$の関数であるような数列$\{f_n(x)\}$を考える．この数列は次の漸化式で定義されている．

$\{\begin{array}{l}{f}_1(x)=x^3\\ f_{n+1}(x)=(x+1){f_n}^{\prime }(x)\end{array}$

この数列の一般項を求めよ．

【２】　$x\geqq 1$で定義された関数$f(x)=x\sqrt{x^2-1}$について以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，凹凸，変曲点を調べて，そのグラフを図示せよ．図には，関数$y=x^2$のグラフも描け．

(2)　$y=f(x)\text{，}x$軸，$y$軸，直線$y=h\text{（}h>0\text{）}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．$I={\displaystyle {\int }_0^{2h}}\sqrt{t^2+1}dt$とおくとして，$V$を$I$を含む形で表せ．

(3)　$t={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$とおくことにより不定積分${\displaystyle \int }\sqrt{t^2+1}dt$を計算し，$V$を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ p& r\end{array}\right)$の表す点の移動が次の$2$つの条件を満たす．

(ⅰ)　直線$x+2y=0$の上の点はすべてその直線自身の上に移る．

(ⅱ)　点$(-1,-1)$は点$({\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{5}{3}})$に移る．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q\text{，}r$を求めよ．

(2)　$A(A-{\displaystyle \frac{2}{3}}E)=\alpha (A-{\displaystyle \frac{2}{3}}E)\text{，}A(A-E)=\beta (A-E)$を満たす実数$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$である．

(3)　$A^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数である．

(4)　行列$A^6$の表す点の移動によって，直線上の点がすべてその直線自身の上に移るような直線が存在する．そのような直線をすべて求めよ．