2013　筑波大学　推薦理工学群数学類MathJax

【１】　関数$f(x)=e^{2x}\sin x\text{，}g(x)=e^{2x}\cos x$について，次の問いに答えよ．

(1)　任意の実数$x$に対して，

$\left(\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)\\ g^{\prime }(x)\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}f(x)\\ g(x)\end{array}\right)$

が常に成り立つような$2$次の正方行列$A$を求めよ．

(2)　$A$の逆行列を求めよ．

(3)　$F^{″}(x)=f(x)\text{，}{G}^{″}(x)=g(x)$となる関数の組$(F(x),G(x))$を$1$つ求めよ．

【２】　$k>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して，$x<e^x$が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x^2}\sqrt{x^2+k}=0$を示せ．

(3)　$xy$平面上の曲線$y=e^{-x^2}$と$y={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x^2+k}}}$が異なる$4$点で交わるとき，$k$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$x^3-3x-3=0$の実数解はただ$1$つであることを示せ．

(2)　(1)の実数解は無理数であることを示せ．