2013　筑波大学　推薦医学群医学類MathJax

【１】　$x\text{，}y$に関する連立方程式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+(a-2)y=2\\ 2x^2+(a-1)y=5\end{array}$

が少なくとも$1$組の整数解をもつとき，整数$a$の値とその整数解を求めなさい．

【２】　$1$から$6$までの目がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{6}}$の確率で出るサイコロを$4$回振り，出た目を順に，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}{x}_4$とする．$xy$平面に点$\mathrm{P}(x_1,x_2)$と$\mathrm{Q}(x_3,x_4)$をとるとき，問１，問２に答えなさい．

問１　線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$以上となる確率を求めなさい．

問２　格子点を$x$座標，$y$座標がともに整数である点と定義する．このとき線分$\mathrm{PQ}$の中点が格子点となる確率を求めなさい．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が同一の点であるときは，$\mathrm{PQ}$の中点は点$\mathrm{P}$（または点$\mathrm{Q}$）と定義する．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$とおく．$▵\mathrm{ABC}$の内部にあり，$3$辺すべてに接する円$I$を考える．この円$I$の中心$\mathrm{I}$から辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$におろした垂線の足を，それぞれ$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とおき，$\mathrm{BL}=x_1\text{，}\mathrm{CL}=x_2\text{，}\mathrm{AN}=x_3$および$\angle \mathrm{AIN}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{BIL}=\beta \text{，}\angle \mathrm{CIM}=\gamma$とおく．また$▵\mathrm{ABC}$の内部にあり，辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$に接し，かつ円$I$に外接する円$A_1\text{，}$辺$\mathrm{BC}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$に接し，かつ円$I$に外接する円$A_2\text{，}$辺$\mathrm{CA}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$に接し，かつ円$I$に外接する円$A_2$の半径をそれぞれ$r_1\text{，}{r}_2\text{，}{r}_3$とする．このとき問１から問５に答えなさい．

問１　$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$とおくとき，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$がそれぞれ$s-b\text{，}s-c\text{，}s-a$となることを示しなさい．

問２　$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$を示しなさい．

問３　円$I$の半径$r$を$s\text{，}a\text{，}b\text{，}c$を用いて表しなさい．

問４　円$A_1$の半径$r_1$を$r$と$\beta$を用いて表しなさい．

問５　円$I$の半径$r$を$r_1\text{，}{r}_2\text{，}{r}_3$を用いて表しなさい．