2013　宇都宮大学　前期MathJax

【１】　数直線上の動点$\mathrm{P}$はさいころを投げて偶数が出れば$+1\text{，}$奇数が出れば$-1$移動する．$\mathrm{P}$の最初の位置（座標）を${\mathrm{P}}_0=0$とし，さいころを$k$回投げたときの$\mathrm{P}$の位置（座標）を順に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　さいころを$4$回投げたとき，${\mathrm{P}}_4=2$となる確率を求めよ．

問２　さいころを$8$回投げたとき，${\mathrm{P}}_8=n$となる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は$-8\leqq n\leqq 8$をみたす整数である．

問３　さいころを$4$回投げたとき，${\mathrm{P}}_1+{\mathrm{P}}_2+{\mathrm{P}}_3+{\mathrm{P}}_4$が$0$以上となる確率を求めよ．

問４　さいころを$3$回投げたとき，${\mathrm{P}}_1+{\mathrm{P}}_2-{\mathrm{P}}_3$の期待値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$は$a_n>0$かつ$a_1=3$であるとする．初項から第$n$項までの和$S_n$について

$S_{n+1}+S_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{(S_{n+1}-S_n)}^2$

が成り立つとき，次の問いに答えよ．

問１　$S_2$と$S_3$を求めよ．

問２　数列$\{a_n\}$のみたす漸化式を求めよ．

問３　数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，内部の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であるとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

問２　比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．

問３　直線$\mathrm{AP}$が$▵\mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120\mathrm{°}$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

問４　問３と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\{\begin{array}{rr}-2x^2+2x& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ x^2+2x& \text{（}x<0\text{）}\end{array}$に対して，関数$F(x)$を$F(x)={\displaystyle {\int }_{-3}^x}f(t)dt$と定め，曲線$y=F(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　関数$F(x)$の増減を調べて，$-3\leqq x\leqq 2$の範囲で$y=F(x)$のグラフの概形をかけ．

問２　曲線$C$上の$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$における$C$の接線の傾きが等しいとし，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}b$とする．$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$b$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$b<0$とする．

問３　曲線$C$上の$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$における$C$の接線の傾きが等しいとする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とし，$a>b>c$であるとする．このとき，$a$のとりうる値の範囲を求め，さらに$a-b=b-c$であるときの$a$の値を求めよ．

【５】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の半円$C\text{：}{x}^2+y^2=1\text{（}y>0\text{）}$上の点を$\mathrm{P}$とする．$a>1$に対して$x$軸上の定点を$\mathrm{A}(a,0)$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　直線$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の方向となす角を$\theta \text{，}\mathrm{OR}=r$とするとき，直線$\mathrm{AQ}$の方程式を$a\text{，}\theta \text{，}r$を用いて表せ．

問２　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$のえがく曲線の方程式を求めよ．

問３　問２で得られた曲線の$a=\sqrt{2}$であるときの概形をかけ．

【６】　座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限の部分を$C$とする．曲線$y=f(x)\text{（}0<x<1\text{）}$は第$4$象限であり，かつすべての$x_1\text{（}0<x_1<1\text{）}$について，点$(x_1,f(x_1))$における接線が$C$上の点$(x_1,y_1)$における$C$の接線と直交しているとする．曲線$y=f(x)$上の動点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ．

問３　$x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち，線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ．

問４　$f(x)$を求めよ．ただし，$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=0$であるとする．

志望別問題選択一覧

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