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2013 群馬大学 前期

教育(数学・技術)学部

易□ 並□ 難□

【1】  ABC において,辺 BC の中点 M AM =BM=1 を満たす.内積 BA BC t とする.

(1)  t のとり得る値の範囲を求めよ.

(2)  ABC の面積が 74 となるとき, t の値を求めよ.

(3)  ABC の周の長さ AB +BC+CA の最大値と,そのときの t の値を求めよ.

2013 群馬大学 前期

教育(数学・技術),理工学部

易□ 並□ 難□

【2】 曲線 C y=x -1+2 x- 1 に点 P ( 12 ,0 ) から接線 l を引く.

(1) 接線 l の方程式を求めよ.

(2) 曲線 C と接線 l および x 軸で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.

2013 群馬大学 前期

教育(数学・技術),社会情報,理工学部

社会情報学部は【4】

医学部の【3】の類題.医学部では(3)を追加

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上において,原点 O を中心とする半径 1 の円周 C 上に定点 A ( -1,0 ) B (1 ,0) をとる. C の上半円周( y 座標が正の部分)上を動く点を P 下半円周( y 座標が負の部分)上を動く点を Q とする. PAB= α( 0<α< π 2) QAB=β (0< β< π2 ) とし,直線 PQ x 軸との交点を R ( t,0 ) とする.

(1)  t α β を用いて表せ.

(2)  α+β = π4 のとき, t のとり得る値の範囲を求めよ.

2013 群馬大学 前期

教育(数学・技術),理工学部

易□ 並□ 難□

2013年群馬大前期教育数・技術【4】2013012010104の図 2013年群馬大前期教育数・技術【4】2013012010104の図 2013年群馬大前期教育数・技術【4】2013012010104の図 2013年群馬大前期教育数・技術【4】2013012010104の図
A1 A2 A3 A4

【4】 右図のように, 1 から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列 A1 A 2 A 3 がある.正三角形 A n n=1 2 3 の右下隅にある碁石の番号を a n とし, An 中のすべての碁石の番号の和を S n とする.(例 a1=3 a2= 8 a 3=16 S2 =4+5 +6+7 +8+9 =39

(1)  an の一般項を求めよ.

(2)  Sn の一般項を求めよ.

(3)  limn 1 n5 k=1 nk (S k- 32 k ) を,ある関数の定積分を用いて表し,この極限値を求めよ.



2013 群馬大学 前期

教育(数学・技術)学部

医学部【4】の類題

易□ 並□ 難□

【5】 自然数 n について, 0 以上 n 以下の整数 x y を座標にもつ点 ( x,y ) 全体の集合を Xn とする.行列 ( 1 1 2 -1 ) の表す一次変換による Xn の点の像全体の集合を Y n とする.

(1) 点 ( 187,110 ) Y 100 に含まれるかどうか理由をつけて述べよ.

(2)  X5 Y 5 の共通部分 X5 Y5 の点の個数を求めよ.

2013 群馬大学 前期

教育(自然・情報系)学部

易□ 並□ 難□

【1】  a b はともに 0 以上の実数とする.

(1)  m 2 以上の自然数とする.このとき,命題「 a m+b m<1 ならば, a+b 1 である」は,偽であることを示せ.

(2) 命題「 a +b<1 ならば,すべての自然数 n に対して an+ bn< 1 である」の真偽を調べ,真である場合には証明し,偽である場合には反例をあげよ.

2013 群馬大学 前期

教育(自然・情報系)学部

易□ 並□ 難□

【2】  a a >1 を満たす定数とし, 2 つの関数 f (x ) g (x ) f (x )= |x2 -a | g (x )=- |x+ 1|+ a とする.

(1)  y=f (x ) のグラフの概形を書け.

(2)  y=g (x ) のグラフの概形を書け.

(3)  y=f (x ) y =g( x) のグラフの交点が 2 個, 3 個, 4 個になるときの a の範囲または値をそれぞれ求めよ.

2013 群馬大学 前期

社会情報学部

易□ 並□ 難□

【1】  0<x <2 とする.

(1) 不等式 (log 2x )2 +5 log2 x<- 6 を解け.

(2) 不等式 sin x+cos 2x 1 を解け.

(3) 次の   に最も適切なものを からひとつ選び,その理由を説明せよ.

条件 p q を, p ( log2 x) 2+5 log2 x<- 6 q sinx +cos2 x1

とする. p q であるための  

 必要条件である   十分条件である   必要十分条件である   必要条件でも十分条件でもない

(ただし,番号および理由は解答欄に記入すること)

2013 群馬大学 前期

社会情報学部

易□ 並□ 難□

【2】 次の連立方程式を解け.

{ x2 -2y =8 y2 -2x =8

2013 群馬大学 前期

社会情報,理工(化学生物,環境創生学科)学部

理工(化学生物,環境創生学科)学部は【5】

易□ 並□ 難□

【3】  α を実数とし,点 ( α,0 ) を通り傾き α の直線を l (α ) とおく.放物線 y =px 2+q x+r は, α がすべての実数を動くとき,つねに l (α ) と接している.

(1)  p q r の値を求め,接点の座標を α を用いて表せ.

(2)  α0 のとき,この放物線と l (α ) および x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

2013 群馬大学 前期

社会情報,理工学部

理工学部は【1】

易□ 並□ 難□

【5】  a =( 1,2 ) b =( -1,3 ) とし p= (1- 2t) a +tb とする. t - 1t< 1 を動くとする.

(1)  |p | の最大値を求めよ.

(2)  |p | の最小値を求めよ.

(3)  |p | が最小となるときの p を位置ベクトルとする点を M とする. a を位置ベクトルとする点を A とするとき, OAM の面積を求めよ.ただし, O は原点である.

2013 群馬大学 前期

理工(機械,電子,総合理工学科)学部

易□ 並□ 難□

【5】 座標平面上に原点 O A ( 0,1 ) B (2 2, 0) がある. 0<t< 1 のとき,線分 AO OB t :1-t に内分する点をそれぞれ P Q とし,線分 PQ t :1-t に内分する点を R とする.また, t=0 t=1 のとき, R はそれぞれ A B に一致するものとし, t 0 t1 の範囲で動かしたときの R の軌跡を C とする.

(1)  C を媒介変数 t を用いて表せ.

(2) 点 R と原点 O の距離の最小値を求めよ.

(3)  C と線分 AB で囲まれた部分の面積 S を求めよ.

2013 群馬大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

【1】(1)  20120 の十億の位の数字を求めよ.

(2)  20120 4 ×107 で割ったときの余りを求めよ.

2013 群馬大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

【2】 空間内に 4 A ( 2,0, 2) B ( 6,0, 0) C ( 4,2, 2) D ( 5,1, 7) がある.

(1)  3 A B C を含む平面を α とし,点 D から α に下ろした垂線と α の交点を H とする.点 E を, H が線分 DE の中点となるようにとるとき, E の座標を求めよ.

(2)  0<t <1 とする.線分 AB t :1-t に内分する点を P 線分 BC t2: 1-t2 に内分する点を Q 線分 CD の中点を R とするとき,四面体 BPQR の体積の最大値を求めよ.

2013 群馬大学 前期

医学部

教育(数学・技術),理工学部【3】,社会情報学部【4】の類題.医学部以外では(3)がない

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上において,原点 O を中心とする半径 1 の円周 C 上に定点 A ( -1,0 ) B (1 ,0) をとる. C の上半円周( y 座標が正の部分)上を動く点を P 下半円周( y 座標が負の部分)上を動く点を Q とする. PAB= α( 0<α< π 2) QAB=β (0< β< π2 ) とし,直線 PQ x 軸との交点を R ( t,0 ) とする.

(1)  t α β を用いて表せ.

(2)  α+β = π4 のとき, t のとり得る値の範囲を求めよ.

(3) 線分 PR の長さと線分 RQ の長さの比が 2 :1 のとき, t α を用いて表せ.

2013 群馬大学 前期

医学部

教育(数学・技術)学部【5】の類題

易□ 並□ 難□

【4】 自然数 n について, 0 以上 n 以下の整数 x y を座標にもつ点 ( x,y ) 全体の集合を Xn とする.行列 ( 1 1 2 -1 ) の表す一次変換による Xn の点の像全体の集合を Y n とする. Xn Y n の共通部分 Xn Yn の点の個数を a n とする.

(1) 点 ( 187,110 ) Y 100 に含まれるかどうか理由をつけて述べよ.

(2)  a5 を求めよ.

(3) 自然数 m について, a6 m m を用いて表せ.

2013 群馬大学 前期

医学部

易□ 並□ 難□

2013年群馬大前期医学部【5】2013102010117の図

【5】 原点 O を中心とする半径 2 の円を A とする.半径 1 の円(以下,「動円」と呼ぶ)は,円 A に外接しながら,すべることなく転がる.ただし,動円の中心は円 A の中心に関し反時計回りに動く.動円上の点 P の始めの位置を ( 2,0 ) とする.動円の中心と原点を結ぶ線分が x 軸の正方向となす角を θ として, θ 0 θ π 2 の範囲で動かしたときの P の軌跡を C とする.

(1)  C を媒介変数 θ を用いて表せ.

(2)  P y 座標が 12 のとき, P での C の接線の傾きを求めよ.

(3)  C の長さを求めよ.ただし,曲線 x =f( θ) y =g( θ) αθ β の長さは αβ ( dx dθ )2 +( dy dθ )2 dθ で与えられる.



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