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2013-10201-0101
2013 群馬大学 前期
教育(数学・技術)学部
易□ 並□ 難□
【1】 ▵ABC において,辺 BC の中点 M は AM =BM=1 を満たす.内積 BA→⋅ BC→ を t とする.
(1) t のとり得る値の範囲を求めよ.
(2) ▵ABC の面積が 74 となるとき, t の値を求めよ.
(3) ▵ABC の周の長さ AB +BC+CA の最大値と,そのときの t の値を求めよ.
2013-10201-0102
教育(数学・技術),理工学部
【2】 曲線 C :y=x -1+2 ⁢x- 1 に点 P ( 12 ,0 ) から接線 l を引く.
(1) 接線 l の方程式を求めよ.
(2) 曲線 C と接線 l および x 軸で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.
2013-10201-0103
教育(数学・技術),社会情報,理工学部
社会情報学部は【4】
医学部の【3】の類題.医学部では(3)を追加
【3】 座標平面上において,原点 O を中心とする半径 1 の円周 C 上に定点 A ( -1,0 ), B (1 ,0) をとる. C の上半円周( y 座標が正の部分)上を動く点を P , 下半円周( y 座標が負の部分)上を動く点を Q とする. ∠PAB= α( 0<α< π 2) ,∠ QAB=β (0< β< π2 ) とし,直線 PQ と x 軸との交点を R ( t,0 ) とする.
(1) t を α , β を用いて表せ.
(2) α+β = π4 のとき, t のとり得る値の範囲を求めよ.
2013-10201-0104
数学 入試問題さんの解答(PDF)へ
【4】 右図のように, 1 から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列 A1 ,A 2 ,A 3 ,⋯ がある.正三角形 A n ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) の右下隅にある碁石の番号を a n とし, An 中のすべての碁石の番号の和を S n とする.(例 a1=3 , a2= 8 ,a 3=16 , S2 =4+5 +6+7 +8+9 =39 )
(1) an の一般項を求めよ.
(2) Sn の一般項を求めよ.
(3) limn →∞ 1 n5 ⁢ ∑ k=1 nk ⁢(S k- 32 ⁢k ) を,ある関数の定積分を用いて表し,この極限値を求めよ.
2013-10201-0105
医学部【4】の類題
【5】 自然数 n について, 0 以上 n 以下の整数 x , y を座標にもつ点 ( x,y ) 全体の集合を Xn とする.行列 ( 1 1 2 -1 ) の表す一次変換による Xn の点の像全体の集合を Y n とする.
(1) 点 ( 187,110 ) は Y 100 に含まれるかどうか理由をつけて述べよ.
(2) X5 と Y 5 の共通部分 X5∩ Y5 の点の個数を求めよ.
2013-10201-0106
教育(自然・情報系)学部
【1】 a ,b はともに 0 以上の実数とする.
(1) m を 2 以上の自然数とする.このとき,命題「 a m+b m<1 ならば, a+b≦ 1 である」は,偽であることを示せ.
(2) 命題「 a +b<1 ならば,すべての自然数 n に対して an+ bn< 1 である」の真偽を調べ,真である場合には証明し,偽である場合には反例をあげよ.
2013-10201-0107
【2】 a は a >1 を満たす定数とし, 2 つの関数 f ⁡(x ) と g ⁡(x ) を f ⁡(x )= |x2 -a | ,g ⁡(x )=- |x+ 1|+ a とする.
(1) y=f⁡ (x ) のグラフの概形を書け.
(2) y=g⁡ (x ) のグラフの概形を書け.
(3) y=f⁡ (x ) と y =g⁡( x) のグラフの交点が 2 個, 3 個, 4 個になるときの a の範囲または値をそれぞれ求めよ.
2013-10201-0108
社会情報学部
【1】 0<x <2 とする.
(1) 不等式 (log 2⁡x )2 +5⁢ log2 ⁡x<- 6 を解け.
(2) 不等式 sin ⁡x+cos ⁡2⁢x ≧1 を解け.
(3) 次の に最も適切なものを ① 〜 ④ からひとつ選び,その理由を説明せよ.
条件 p ,q を, p :( log2⁡ x) 2+5 ⁢log2 ⁡x<- 6 ,q :sin⁡x +cos⁡2 ⁢x≧1
とする. p は q であるための .
① 必要条件である ② 十分条件である ③ 必要十分条件である ④ 必要条件でも十分条件でもない
(ただし,番号および理由は解答欄に記入すること)
2013-10201-0109
【2】 次の連立方程式を解け.
{ x2 -2⁢y =8 y2 -2⁢x =8
2013-10201-0110
社会情報,理工(化学生物,環境創生学科)学部
理工(化学生物,環境創生学科)学部は【5】
【3】 α を実数とし,点 ( α,0 ) を通り傾き α の直線を l ⁡(α ) とおく.放物線 y =p⁢x 2+q⁢ x+r は, α がすべての実数を動くとき,つねに l ⁡(α ) と接している.
(1) p ,q , r の値を求め,接点の座標を α を用いて表せ.
(2) α≠0 のとき,この放物線と l ⁡(α ) および x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
2013-10201-0111
社会情報,理工学部
理工学部は【1】
【5】 a→ =( 1,2 ), b→ =( -1,3 ) とし p→= (1- 2⁢t) ⁢a→ +t⁢b → とする. t は - 1≦t< 1 を動くとする.
(1) |p → | の最大値を求めよ.
(2) |p → | の最小値を求めよ.
(3) |p → | が最小となるときの p → を位置ベクトルとする点を M とする. a→ を位置ベクトルとする点を A とするとき, ▵OAM の面積を求めよ.ただし, O は原点である.
2013-10201-0112
理工(機械,電子,総合理工学科)学部
【5】 座標平面上に原点 O , 点 A ( 0,1 ), B (2 ⁢2, 0) がある. 0<t< 1 のとき,線分 AO , OB を t :1-t に内分する点をそれぞれ P ,Q とし,線分 PQ を t :1-t に内分する点を R とする.また, t=0 , t=1 のとき, R はそれぞれ A ,B に一致するものとし, t を 0 ≦t≦1 の範囲で動かしたときの R の軌跡を C とする.
(1) C を媒介変数 t を用いて表せ.
(2) 点 R と原点 O の距離の最小値を求めよ.
(3) C と線分 AB で囲まれた部分の面積 S を求めよ.
2013-10201-0113
医学部
【1】(1) 20120 の十億の位の数字を求めよ.
(2) 20120 を 4 ×107 で割ったときの余りを求めよ.
2013-10201-0114
【2】 空間内に 4 点 A ( 2,0, 2) ,B ( 6,0, 0) ,C ( 4,2, 2) ,D ( 5,1, 7) がある.
(1) 3 点 A ,B , C を含む平面を α とし,点 D から α に下ろした垂線と α の交点を H とする.点 E を, H が線分 DE の中点となるようにとるとき, E の座標を求めよ.
(2) 0<t <1 とする.線分 AB を t :1-t に内分する点を P , 線分 BC を t2: 1-t2 に内分する点を Q , 線分 CD の中点を R とするとき,四面体 BPQR の体積の最大値を求めよ.
2013-10201-0115
教育(数学・技術),理工学部【3】,社会情報学部【4】の類題.医学部以外では(3)がない
(3) 線分 PR の長さと線分 RQ の長さの比が 2 :1 のとき, t を α を用いて表せ.
2013-10201-0116
教育(数学・技術)学部【5】の類題
【4】 自然数 n について, 0 以上 n 以下の整数 x , y を座標にもつ点 ( x,y ) 全体の集合を Xn とする.行列 ( 1 1 2 -1 ) の表す一次変換による Xn の点の像全体の集合を Y n とする. Xn と Y n の共通部分 Xn∩ Yn の点の個数を a n とする.
(2) a5 を求めよ.
(3) 自然数 m について, a6⁢ m を m を用いて表せ.
2013-10201-0117
【5】 原点 O を中心とする半径 2 の円を A とする.半径 1 の円(以下,「動円」と呼ぶ)は,円 A に外接しながら,すべることなく転がる.ただし,動円の中心は円 A の中心に関し反時計回りに動く.動円上の点 P の始めの位置を ( 2,0 ) とする.動円の中心と原点を結ぶ線分が x 軸の正方向となす角を θ として, θ を 0 ≦θ≦ π 2 の範囲で動かしたときの P の軌跡を C とする.
(1) C を媒介変数 θ を用いて表せ.
(2) P の y 座標が 12 のとき, P での C の接線の傾きを求めよ.
(3) C の長さを求めよ.ただし,曲線 x =f⁡( θ) ,y =g⁡( θ) ( α≦θ ≦β ) の長さは ∫αβ ( dx dθ )2 +( dy dθ )2 ⁢dθ で与えられる.