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2013-10221-0101
2013 埼玉大学 前期
経済,教育(学校教育・
教科教育コース(数学専修))学部
易□ 並□ 難□
【1】(1) 6495 と 65 90 の大小を比較せよ.
(2) 63100 と 64 95 の大小を比較せよ.
2013-10221-0102
【2】 すべての項が整数である数列を整数列と呼ぶ.
(1) 整数列 { αn }, { βn } を次で定める.
(5 +2⁢ 6) n=α n+6 ⁢βn , n= 1 ,2 ,
(ⅰ) 数列 γn= αn- 6⁢ βn は等比数列になることを示し,その一般項を求めよ.
(ⅱ) 一般項 αn ,β n を求めよ.
(2) 整数列 { an }, { bn }, { cn }, { dn } を次で定める.
( 2+3 )n =an +2⁢ bn+ 3⁢c n+6 ⁢dn , n= 1 ,2 ,⋯
(ⅰ) a3 ,b 3 ,c 3 ,d3 をそれぞれ求めよ.
(ⅱ) 一般項 an ,b n ,c n ,d n を先の αn ,β n を用いて表せ.
2013-10221-0103
【3】 辺の長さが AB =1 ,BC =k ( 0< k<1 ) の長方形 ABCD を考える.辺 CD の中点を M とし,線分 AM で三角形 ADM を折り返したとき頂点 D が重なる点を E とする.ただし,点 E は長方形の外にはみ出る場合もある.このとき下記の設問に答えよ.
(1) ∠AMD= α とするとき, sin⁡α および cos ⁡α をそれぞれ k を用いて表せ.
(2) 点 E を通り,辺 CD に垂直な直線と辺 CD の交点を F とする.このとき辺 CF の長さを k を用いて表せ.
(3) 点 E を通り,辺 AM に垂直な直線と辺 AM の交点を G とする.三角形 BCE の面積が三角形 AEG の面積がちょうど 2 倍になるときの k の値を求めよ.
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【4】 xyz 空間における平面 y =0 上のグラフ z =2-x 2 ,( 0≦ x≦2 ) を z 軸の周りに回転して得られるものを平面 x =a で切りとる.ただし 0 ≦a≦2 とする.そのとき切り口の平面に曲線 G が現れた. G 上の点 ( x,y, z) は,
x=a ,z=2 -a2 -y2 , ( - 2-a2 ≦y≦ 2-a 2 )
をみたす.切り口の平面 x =a 上において点 ( a,0, 0) と曲線 G 上の点の距離の最大値を r ⁡(a ) とする.このとき下記の設問に答えよ.
(1) 0≦a ≦2 に対して r ⁡(a ) を求めよ.
(2) 次の積分値を求めよ.
π⁢ ∫12 ⁡ (r ⁡(x )) 2⁢d x