2013　埼玉大学　前期（経済，教育学部）MathJax

【１】(1)　${64}^{95}$と${65}^{90}$の大小を比較せよ．

(2)　${63}^{100}$と${64}^{95}$の大小を比較せよ．

【２】　すべての項が整数である数列を整数列と呼ぶ．

(1)　整数列$\{{\alpha }_n\}\text{，}\{{\beta }_n\}$を次で定める．

${(5+2\sqrt{6})}^n={\alpha }_n+\sqrt{6}{\beta }_n\text{，}n=1\text{，}2\text{，}$

(ⅰ)　数列${\gamma }_n={\alpha }_n-\sqrt{6}{\beta }_n$は等比数列になることを示し，その一般項を求めよ．

(ⅱ)　一般項${\alpha }_n\text{，}{\beta }_n$を求めよ．

(2)　整数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}\text{，}\{d_n\}$を次で定める．

${(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^n=a_n+\sqrt{2}{b}_n+\sqrt{3}{c}_n+\sqrt{6}{d}_n\text{，}n=1\text{，}2\text{，}\cdots$

(ⅰ)　$a_3\text{，}{b}_3\text{，}{c}_3\text{，}{d}_3$をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　一般項$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を先の${\alpha }_n\text{，}{\beta }_n$を用いて表せ．

【３】　辺の長さが$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=k\text{（}0<k<1\text{）}$の長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$で三角形$\mathrm{ADM}$を折り返したとき頂点$\mathrm{D}$が重なる点を$\mathrm{E}$とする．ただし，点$\mathrm{E}$は長方形の外にはみ出る場合もある．このとき下記の設問に答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{AMD}=\alpha$とするとき，$\sin \alpha$および$\cos \alpha$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{CD}$に垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき辺$\mathrm{CF}$の長さを$k$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{E}$を通り，辺$\mathrm{AM}$に垂直な直線と辺$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{G}$とする．三角形$\mathrm{BCE}$の面積が三角形$\mathrm{AEG}$の面積がちょうど$2$倍になるときの$k$の値を求めよ．

【４】　$xyz$空間における平面$y=0$上のグラフ$z=2-x^2\text{，}\text{（}0\leqq x\leqq \sqrt{2}\text{）}$を$z$軸の周りに回転して得られるものを平面$x=a$で切りとる．ただし$0\leqq a\leqq \sqrt{2}$とする．そのとき切り口の平面に曲線$G$が現れた．$G$上の点$(x,y,z)$は，

$x=a\text{，}z=2-a^2-y^2\text{，}\text{（}-\sqrt{2-a^2}\leqq y\leqq \sqrt{2-a^2}\text{）}$

をみたす．切り口の平面$x=a$上において点$(a,0,0)$と曲線$G$上の点の距離の最大値を$r(a)$とする．このとき下記の設問に答えよ．

(1)　$0\leqq a\leqq \sqrt{2}$に対して$r(a)$を求めよ．

(2)　次の積分値を求めよ．

$\pi {\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{2}}}{(r(x))}^{2}dx$