2013　埼玉大学　前期（理，工学部）MathJax

$A=\left(\begin{array}{cc}0& a^2\\ -b^2& 2ab\end{array}\right)\text{，}$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}$$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

とする．さらに，実数$p$を，$B=A-pE$が$B^2=O$を満たすように定める．

(1)　$p$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　自然数$n$に対し，

$A^n=sE+tB$（$s\text{，}t$は実数）

と表すとき，$s\text{，}t$を$n\text{，}a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　自然数$n$に対し，

$A^n\left(\begin{array}{c}a\\ r\end{array}\right)=q\left(\begin{array}{c}a\\ r\end{array}\right)$

を満たす実数$q$と$r$を$n\text{，}a\text{，}b$を用いて表せ．

(1)　曲線$C$と直線$l_a$の共有点の個数を求めよ．

(2)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積の和を求めよ．

(A)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=f(a)\text{（}0<a<1\text{）}$，

(B)　$f(1)-f(0)=f^{\prime }(b)\text{（}0<b<1\text{）}$

また，点$(0,0)\text{，}(a,e^a)$を通る直線を$l_1$とし，点$(1,0)\text{，}(b,e^b)$を通る直線を$l_2$とする．

(1)　(A)，(B)を利用して，$l_1\text{，}{l}_2$の方程式を$a\text{，}b$を用いずに表せ．

(2)　$l_1$と$l_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,e)$における接線と直線$l_2$の交点を求めよ．

(3)　次の不等式が成り立つことを示せ．

$a<{\displaystyle \frac{e-2}{e-1}}<b<{\displaystyle \frac{1}{2}}$

ただし，必要ならば$e=2.718\cdots \text{，}\log (e-1)=0.541\cdots$を用いてよい．

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3\text{，}$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\sqrt{7}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|=\sqrt{5}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{DB}}\right|=\sqrt{6}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{D}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}x{(1-x)}^{n}dx\text{，}$$b_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2{(1-x)}^{n}dx$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$b_n$を求めよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}xf(\sin x)dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(\sin x)dx$

(2)　$a>1$とする．(1)を用いて，積分

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{x(a^2-4{\cos }^{2}x)\sin x}{a^2-{\cos }^{2}x}}dx$

を求めよ．