2013　埼玉大学　後期　理，工学部MathJax

2013-10221-0301

2013　埼玉大学　後期

理，工学部

易□　並□　難□

【１】　 $a$ を実数とする．

$A = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & a \end{matrix})$

とし， $x y$ 平面において，直線 $l : y = - 2 x - 1$ 上の $2$ 点 $P (0, - 1) ， Q (1, - 3)$ を考える．行列 $A$ により $P ， Q$ を移動した点をそれぞれ $P^{'} ， Q^{'}$ とし， $P^{'} ， Q^{'}$ を通る直線を $l^{'}$ とする．

(1)　 $l$ と $l^{'}$ とが直交するときの $a$ の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた $a$ に対し， $l$ 上の点 $R$ を行列 $A$ で移動した点を $R^{'}$ とする． $R$ と $R^{'}$ との距離を最小にする $R$ の座標を求めよ．

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【２】　 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ の $5$ 枚のカードが袋に入っている．この中から $1$ 枚ずつ順番に $3$ 枚のカードを引いて，左から順に並べて得られる $3$ 桁の数 $N$ を考える．

(1)　 $N$ が $3$ の倍数である確率を求めよ．

(2)　次の(A)と(B)が同値であることを証明せよ．

(A)　 $N$ は $11$ の倍数である．

(B)　 $2$ 番目に引いたカードの数字は $1$ 番目と $3$ 番目に引いたカードの数字の和に等しい．

(3)　 $N$ が $3$ の倍数または $11$ の倍数である確率を求めよ．

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【３】　 $x y$ 平面において， $2$ つの曲線 $C_{1} : y = \sin x$ および $C_{2} : y = \sqrt{3} \cos x$ を考える．ただし， $- π ≦ x ≦ π$ とする．

(1)　 $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点を求めよ．

(2)　 $C_{1}$ と $C_{2}$ によって囲まれた部分を $D$ とする． $D$ の面積を求めよ．

(3)　 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ．

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【４】　 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{a_{n}} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ で定義される数列 ${a_{n}}$ を考える．

(1)　すべての自然数 $n$ に対し， $a_{n} > \sqrt{2}$ であることを示せ．

(2)　 $b_{n} = \log \frac{a_{n} - \sqrt{2}}{a_{n} + \sqrt{2}} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ とおく． $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ で表せ．

(3)　一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(4)　極限 $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ．