2013　千葉大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を正の整数とする．このとき，関数

$y=|x^2-ax+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-5|$

のグラフと直線$y=b$との共有点を考える．

(1)　共有点が$3$個になるような$(a,b)$の組をすべて求めよ．

(2)　共有点が$1$個になるような$(a,b)$の組のうち，$b$が最小になるものを求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を$100$以下の正の整数とする．$2$つの分数${\displaystyle \frac{a}{27}}\text{，}{\displaystyle \frac{31}{b}}$がどちらも既約分数であり，かつ，和${\displaystyle \frac{a}{27}}+{\displaystyle \frac{31}{b}}$が整数であるとする．このような$(a,b)$の組をすべて求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$3$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{CE}=t$とする．

(1)　$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(2)　$\cos \angle \mathrm{DAE}$を$t$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{ADE}$の面積が最小になるときの$t$の値とそのときの面積を求めよ．

【４】　$1$から$9$までの番号をつけた$9$枚のカードがある．これらを無作為に$1$列に並べる試行を行なう．

(1)　下記の条件(A)が成り立つ確率を求めよ．

(2)　下記の条件(B)が成り立つ確率を求めよ．

(3)　条件(A)，(B)が同時に成り立つ確率を求めよ．

　ただし，条件(A)，(B)は次のとおりである．

(A)　番号$1$のカードと番号$2$のカードは隣り合わない．

(B)　番号$8$のカードと番号$9$のカードの間には，ちょうど$1$枚のカードがある．

【５】　$a\text{，}b$を実数とし，$a>0$とする．放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$上に$2$点$\mathrm{A}(a,{\displaystyle \frac{a^2}{4}})\text{，}\mathrm{B}(b,{\displaystyle \frac{b^2}{4}})$をとる．点$\mathrm{A}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$l_{\mathrm{A}}$と$n_{\mathrm{A}}\text{，}$点$\mathrm{B}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$l_{\mathrm{B}}$と$n_{\mathrm{B}}$とおいたとき，$l_{\mathrm{A}}$と$l_{\mathrm{B}}$が直交しているものとする．$2$つの接線$l_{\mathrm{A}}\text{，}{l}_{\mathrm{B}}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$2$つの法線$n_{\mathrm{A}}\text{，}{n}_{\mathrm{B}}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　長方形$\mathrm{AQBP}$の面積が最小となるような$a$の値と，そのときの面積を求めよ．

【６】　整数$p\text{，}q\text{（}p\geqq q\geqq 0\text{）}$に対して$2$項係数を${}_{p}C_q={\displaystyle \frac{p!}{q!(p-q)!}}$と定める．なお$0!=1$とする．

(1)　$n\text{，}k$が$0$以上の整数のとき，

${}_{n+k+1}C_{k+1}\times ({\displaystyle \frac{1}{{}_{n+k}C_k}}-{\displaystyle \frac{1}{{}_{n+k+1}C_k}})$

を計算し，$n$によらない値になることを示せ．

(2)　$m$が$3$以上の整数のとき，和${\displaystyle \frac{1}{{}_{3}C_3}}+{\displaystyle \frac{1}{{}_{4}C_3}}+{\displaystyle \frac{1}{{}_{5}C_3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{{}_{m}C_3}}$を求めよ．

【７】　$a$は$0$でない実数とする．直線$y=ax$と曲線$y=x\log (x+1)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【８】　$r$を$1$より大きい実数とする．半径$1$の円$C$の周上に点$\mathrm{Q}$をとる．最初に円$C$の中心$\mathrm{P}$は座標平面の$(0,1)\text{，}$点$\mathrm{Q}$は$(0,2)$にあるものとし，円$C$が$x$軸に接しながら$x$軸の正の方向にすべることなく転がっていく．角$\theta$ラジアンだけ回転したとき，半直線$\mathrm{PQ}$上に$\mathrm{PR}=r$となる点$\mathrm{R}$をとる．$\theta$を$0$から$2\pi$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を考える．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$は$0\leqq \alpha <\beta \leqq 2\pi$をみたし，$\theta =\alpha$のときの$\mathrm{R}$の座標と$\theta =\beta$のときの$\mathrm{R}$の座標とが一致するものとする．$t={\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{2}}$とおくとき，$r$を$t$を用いて表せ．

(2)　(1)において，$\theta$を$\alpha$から$\beta$までの動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡によって囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \underset{r\to \infty }{lim}}{\displaystyle \frac{S}{r^2}}$を求めよ．

【９】　$m^4+14m^2$が$2m+1$の整数倍となるような整数$m$をすべて求めよ．

【10】　$\tan 10\mathrm{°}=\tan 20\mathrm{°}\cdot \tan 30\mathrm{°}\cdot \tan 40\mathrm{°}$を示せ．

志望別問題選択一覧

数学I数学A

教育学部（算数科選修，技術科教育分野）　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I数学II数学A数学B

　文学部（行動科学科），教育学部（情報教育分野），法経学部，園芸学部，

　先進科学プログラム　物理化学分野・人間科学関連分野

　　【３】，【４】，【５】，【６】

教育学部（数学科教育分野）　【１】，【２】，【３】，【４】，【５】，【６】

数学I数学II数学III数学A数学B数学C

理学部（物理，化学，生物，地球科学科），薬学部，

工学部，先進科学プログラム（物理，電気電子，ナノサイエンス，画像，情報画像）

　【３】，【４】，【５】，【６】，【７】

医学部【４】，【５】，【６】，【８】，【９】

理学部（数学・情報数理学科）　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】，【10】