2013　千葉大学　先進科学プログラム12月MathJax

【１】　$n$が$1000$より小さな自然数の時，$\sqrt{21n}$が自然数となるような$n$の値は全部でいくつあるか，求めなさい．

【２】　直線$(2+a)x-(1-a)y-4+a=0$は，定数$a$の値にかかわらず，定点を通ることを示しなさい．またその定点の座標を求めなさい．

【３】　${\log }_{9}144-{\log }_{3}2=\mathrm{[A]}+\mathrm{[B]}{\log }_{3}2$において，$\mathrm{[A]}\text{，}\mathrm{[B]}$に入る整数を求めなさい．

【４】(1)　点$\mathrm{P}(x,y)$を原点$\mathrm{O}$のまわりに，反時計回り（正の向き）に$120\mathrm{°}$回転した点を$\mathrm{Q}(x^{\prime },y^{\prime })$とする．$\mathrm{P}(x,y)$と$\mathrm{Q}(x^{\prime },y^{\prime })$の関係は，行列$A$を用いて$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$と表すことができる．このような行列$A$を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}}{A}^n$を求めなさい．

【５】　$y=2\sqrt{x}\text{（}x>0\text{）}$と$y=x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$で囲まれた面積を求めなさい．

【６】　サイコロを$3$回振り，$1$回目にでた目を$a\text{，}2$回目に出た目を$b\text{，}3$回目にでた目を$c$とする．$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$を考える．

(1)　$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$が重解を持つ確率を求めなさい．

(2)　$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$が，$2$つの実数解を持つ場合，$2$つの解は共に負であることを示しなさい．