2013　千葉大学　後期MathJax

【１】　整数$n\geqq 2$に対して

$a_n={\displaystyle \frac{{(1+\sqrt{3})}^n+{(1-\sqrt{3})}^n}{4}}$

とおくとき，$a_n$は整数であり，$a_n$を$3$で割った余りは$2$であることを示せ．

【２】　$C$を放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$とする．点$\mathrm{P}(a,b)$が条件$b<{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$を満たすとき，$\mathrm{P}$から$C$に$2$本の接線を引き，$2$つの接点を通る直線を$l$とする．

(1)　$C$上の点$(x_0,y_0)$における接線の方程式は$y+y_0=x_{0}x$であることを示せ．

(2)　$l$の方程式は$y+b=ax$であることを示せ．

(3)　$\mathrm{P}$が円$x^2+{(y+2)}^2=1$の上を動くとき，$l$が通る領域を求め，図示せよ．

【３】　$a$を$1$より大きい実数とする．$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=a+1\text{，}\mathrm{AB}=a+2$である$▵\mathrm{ABC}$の周および内部の点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とし，$\mathrm{PD}=x\text{，}\mathrm{PE}=y\text{，}\mathrm{PF}=z$とする．ただし，点$\mathrm{P}$が直線$l$上にあるときは，$\mathrm{P}$から$l$に下ろした垂線の足とは$\mathrm{P}$のこととする．

(1)　$x+y+z$が最大になるような点$\mathrm{P}$を求めよ．

(2)　$x+y+z$が$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{CA}$に下ろした垂線の長さに等しくなるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．

【４】　$n$を$3$以上の整数とし，正$n$角形の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．この正$n$角形の頂点から無作為に$3$個を選び，それらを頂点とする三角形を作るとき，$\mathrm{O}$がこの三角形の周または内部に含まれる確率を$P_n$とする．

(1)　$P_5\text{，}{P}_6$を求めよ．

(2)　$P_n$を求めよ．

【５】　平面上の点を$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$とし，$c$は$-1\leqq c\leqq 1$を満たす定数とする．$2$点$\mathrm{P}(c,t)\text{，}\mathrm{Q}(c,u)\text{（}0\leqq t\leqq u\text{）}$を，条件$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{DQ}=4$を満たすように動かす．

(1)　$t$が動きうる範囲は閉区間$0\leqq t\leqq \alpha$であり，$\alpha >1$であることを示せ．

(2)　$u$が最大となるような$t$の値$\beta$が$1$つだけあり，$\beta <1$であることを示せ．

【６】　底面の半径$1\text{，}$高さ$h\text{（}h>\sqrt{2}\text{）}$の直円柱形の容器に水がいっぱいに張ってあり，半径${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$の鉄球が沈んでいる．容器を一定の方向に徐々に傾けて水をこぼしていく．容器が初めの位置から傾いた角度を$\theta$とすると，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のときに鉄球と水面が接した．

(1)　$h$を求めよ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，容器内に残っている水の体積を求めよ．

(3)　$\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$のとき，容器内に残っている水の体積を求めよ．