2013　千葉大学　後期MathJax

【１】　実数$x$の関数$f(x)=e^{-2x}\sin x\text{（}x>0\text{）}$について，以下の問いに答えなさい．解答は結果のみを示すこと．

問１　$f(x)$の極値を与える変数$x$の最小値を$\theta$とする．$\theta$が満たす条件を三角関数を用いて表しなさい．

問２　$f(\theta )$を求めなさい．解答には$\theta$を用いてよいが，三角関数を用いてはならない．

問３　$f(x)$の極大値を与える変数$x$をその値が小さい順に$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\text{，}\cdots \text{，}$と表し，$f_1=f(x_1)\text{，}{f}_2=f(x_2)\text{，}\cdots \text{，}{f}_n=f(x_n)\text{，}\cdots \text{，}$とする．$n$と$\theta$を用いて，$f_n$を表しなさい．ただし，解答に三角関数を用いてはならない．

問４　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{f}_n$を求めなさい．解答には$\theta$を用いてよいが，三角関数を用いてはならない．

【２】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における曲線$C$

$x=a(\theta +\sin \theta )\text{，}y=a(1-\cos \theta )$

について，以下の問いに答えなさい．ただし，$a>0$とする．解答は結果のみを示すこと．

問１　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$と${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$を求めなさい．

問２　$xy$平面における曲線$C$の概形をかきなさい．解答には，曲線$C$が$\theta =\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，および$x$軸と$y$軸と交わるときの$xy$座標をそれぞれ明記し，曲線はその凹凸がわかるようにかくこと．

問３　$y=a$と曲線$C$で囲まれる部分の面積$S$を求めなさい．