2013　東京大学　前期MathJax

【１】　関数$y=x(x-1)(x-3)$のグラフを$C\text{，}$原点$\mathrm{O}$を通る傾き$t$の直線を$l$とし，$C$と$l$が$\mathrm{O}$以外に共有点をもつとする．$C$と$l$の共有点を$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$の積を$g(t)$とおく．ただし，それら共有点の$1$つが接点である場合は，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$のうちの$2$つが一致して，その接点であるとする．関数$g(t)$の増減を調べ，その極値を求めよ．

【２】　座標平面上の$3$点

$\mathrm{P}(0,-\sqrt{2})\text{，}\mathrm{Q}(0,\sqrt{2})\text{，}\mathrm{A}(a,\sqrt{a^2+1})\text{（}0\leqq a\leqq 1\text{）}$

を考える．

(1)　$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．

(2)　$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8}}{x}^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下ろした垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和

$\mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$

は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数の定数とする．実数$x\text{，}y$が

$x^2+y^2\leqq 25\text{，}2x+y\leqq 5$

をともに満たすとき，$z=x^2+y^2-2ax-2by$の最小値を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人がいる．投げたとき表裏が出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$のコインが$1$枚あり，最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている．次の操作を繰り返す．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{A}$がそのまま持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す．

(ⅱ)　$\mathrm{B}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{B}$がそのまま持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す．

　そして，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で，$2$点を獲得した方の勝利とする．たとえば，コインが表，裏，表，表と出た場合，この時点で$\mathrm{A}$は$1$点，$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる．

　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ．

【１】　実数$a\text{，}b$に対し平面上の点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$を

$(x_0,y_0)=(1,0)$

$(x_{n+1},y_{n+1})=(a{x}_n-b{y}_n,b{x}_n+a{y}_n)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)がともに成り立つような$(a,b)$をすべて求めよ．

(ⅰ)　${\mathrm{P}}_0={\mathrm{P}}_6$

(ⅱ)　${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_5$は相異なる．

【２】　$a$を実数とし，$x>0$で定義された関数$f(x)\text{，}g(x)$を次のように定める．

$f(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{x}}$

$g(x)=\sin x+ax$

　このとき$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$x>0$において共有点をちょうど$3$つ持つような$a$をすべて求めよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人がいる．投げたとき表裏が出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$のコインが$1$枚あり，最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている．次の操作を繰り返す．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{A}$がそのまま持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す．

(ⅱ)　$\mathrm{B}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{B}$がそのまま持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す．

　そして，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で，$2$点を獲得した方の勝利とする．たとえば，コインが表，裏，表，表と出た場合，この時点で$\mathrm{A}$は$1$点，$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}p(n)$を求めよ．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{BAC}＝90\mathrm{°}\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\sqrt{3}$とする．$▵\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が

${\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{PA}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{PC}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{PC}}\right|}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとする．

(1)　$\angle \mathrm{APB}\text{，}\angle \mathrm{APC}$を求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{PC}}\right|$を求めよ．

【５】　次の命題$\mathrm{P}$を証明したい．

　以下の問いに答えよ．

(1)　$y$を自然数とする．このとき不等式

$x^3+3y{x}^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2$

が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ．

(2)　命題$\mathrm{P}$を証明せよ．

【６】　座標空間において，$xy$平面内で不等式$|x|\leqq 1\text{，}|y|\leqq 1$により定まる正方形$S$の$4$つの頂点を$\mathrm{A}(-1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,-1,0)\text{，}\mathrm{D}(-1,-1,0)$とする．正方形$S$を，直線$\mathrm{BD}$を軸として回転させてできる立体を$V_1\text{，}$直線$\mathrm{AC}$を軸として回転させてできる立体を$V_2$とする．

(1)　$0\leqq t<1$を満たす実数$t$に対し，平面$x=t$による$V_1$の切り口の面積を求めよ．

(2)　$V_1$と$V_2$の共通部分の体積を求めよ．