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2013-10262-0101
2013 東京医科歯科大学 前期
医・歯・保健衛生(検査技術)学科共通
易□ 並□ 難□
【1】 以下の各問いに答えよ.
(1) 実数 α ,β が 0 <α< π 2 ,0< β< π2 , tan⁡α ⁢tan⁡β =1 を満たすとき, α+β の値を求めよ.
(2) 実数 α , β ,γ が 0 <α< π 2 ,0< β< π2 , 0<γ <π 2 ,α +β+γ =π 2 を満たすとき,
tan⁡α ⁢tan⁡β +tan⁡β ⁢tan⁡γ +tan⁡γ ⁢tan⁡α
の値は一定であることを示せ.
(3) 実数 α , β ,γ が 0 <α< π 2 ,0<β < π2 , 0<γ < π2 , α+β+ γ= π2 を満たすとき,
tan⁡α+ tan⁡β+ tan⁡γ
のとりうる値の範囲を求めよ.
2013-10262-0102
医学科
歯・保健衛生(検査技術)学科【2】の類題
【2】 2 次正方行列 ( ab cd ) のうち,次の 3 条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満たすもの全体の集合を M とする.
(ⅰ) a ,b ,c ,d はすべて整数
(ⅱ) b+c= 0
(ⅲ) a-b- d=0
また E を 2 次単位行列とする.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 行列 A , B がともに M の要素であるとき,それらの積 A ⁢B も M の要素であることを示せ.
(2) 行列 A =( ab cd ) とその逆行列 A -1 がともに M の要素であるとき, a⁢d- b⁢c= 1 が成立することを示せ.
(3) 行列 A とその逆行列 A -1 がともに M の要素であるような A をすべて求めよ.
(4) 自然数 n について, M の要素であって An= E を満たすような行列 A の全体の集合を S n とする. Sn の要素の個数がちょうど 3 となる n をすべて求めよ.
2013-10262-0103
・歯・保健衛生(検査技術)学科【3】の類題
【3】 m ,n を自然数として,関数 f (x) =xm ⁢( 1-x) n を考える.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 0≦x ≦1 における f ⁡(x ) の最大値を m , n を用いて表せ.
(2) 定積分 ∫01 ⁡f ⁡(x )⁢d x を m , n を用いて表せ.
(3) a ,b , c を実数として,関数 g ⁡(x )=a ⁢x2 +b⁢x +c の 0 ≦x≦1 における最大値を M ⁡(a ,b,c ) とする.次の 2 条件(ⅰ),(ⅱ)が成立するとき, M⁡( a,b, c) の最小値を m , n を用いて表せ.
(ⅰ) g⁡( 0)= g⁡( 1)= 0
(ⅱ) 0<x< 1 のとき f⁡ (x) ≦g⁡ (x )
(4) m ,n が 2 以上の自然数で m >n であるとき
( m+n+1 )!m !⁡n! > (m +n) m+n mm⁢ nn >2 2⁢n- 1
が成立することを示せ.
2013-10262-0104
歯・保健衛生(検査技術)学科
医学科【2】の類題
(4) M の要素であって, A6 =E を満たすような行列 A の個数を求めよ.
2013-10262-0105
医学科【3】の類題
【3】 n を自然数として,関数 f ⁡(x )= xn⁢ (1 -x) n を考える.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 0≦x≦ 1 における f ⁡(x ) の最大値を n を用いて表せ.
(2) 定積分 ∫01 ⁡f ⁡( x)⁢ dx を n を用いて表せ.
(3) 実数 a について,関数 g ⁡(x )=a ⁢x⁢( 1-x ) が次の条件(*)を満たすとき, a の最小値を n を用いて表せ.
(*) 0≦x ≦1 のとき f ⁡(x )≦g ⁡(x )
(4) n を自然数とするとき
( 2⁢n+ 1)! 6⁢ (n! )2 ≧ 4n-1