2013　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　実数$\alpha \text{，}\beta$が$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\tan \alpha \tan \beta =1$を満たすとき，$\alpha +\beta$の値を求めよ．

(2)　実数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\gamma <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\alpha +\beta +\gamma ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとき，

$\tan \alpha \tan \beta +\tan \beta \tan \gamma +\tan \gamma \tan \alpha$

の値は一定であることを示せ．

(3)　実数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\gamma <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\alpha +\beta +\gamma ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとき，

$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma$

のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　$2$次正方行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$のうち，次の$3$条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たすもの全体の集合を $\mathrm{M}$とする．

(ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$はすべて整数

(ⅱ)　$b+c=0$

(ⅲ)　$a-b-d=0$

　また$E$を$2$次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　行列$A\text{，}B$がともに$\mathrm{M}$の要素であるとき，それらの積$AB$も$\mathrm{M}$の要素であることを示せ．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とその逆行列$A^{-1}$がともに$\mathrm{M}$の要素であるとき，$ad-bc=1$が成立することを示せ．

(3)　行列$A$とその逆行列$A^{-1}$がともに$\mathrm{M}$の要素であるような$A$をすべて求めよ．

(4)　自然数$n$について，$\mathrm{M}$の要素であって$A^n=E$を満たすような行列$A$の全体の集合を${\mathrm{S}}_n$とする．${\mathrm{S}}_n$の要素の個数がちょうど$3$となる$n$をすべて求めよ．

【３】　$m\text{，}n$を自然数として，関数$f(x)=x^m{(1-x)}^n$を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値を$m\text{，}n$を用いて表せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$を$m\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数として，関数$g(x)=a{x}^2+bx+c$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値を$M(a,b,c)$とする．次の$2$条件(ⅰ)，(ⅱ)が成立するとき，$M(a,b,c)$の最小値を$m\text{，}n$を用いて表せ．

(ⅰ)　$g(0)=g(1)=0$

(ⅱ)　$0<x<1$のとき$f(x)\leqq g(x)$

(4)　$m\text{，}n$が$2$以上の自然数で$m>n$であるとき

${\displaystyle \frac{(m+n+1)!}{m!n!}}>{\displaystyle \frac{{(m+n)}^{m+n}}{m^m{n}^n}}>2^{2n-1}$

が成立することを示せ．

【２】　$2$次正方行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$のうち，次の$3$条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たすもの全体の集合を $\mathrm{M}$とする．

(ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$はすべて整数

(ⅱ)　$b+c=0$

(ⅲ)　$a-b-d=0$

　また$E$を$2$次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　行列$A\text{，}B$がともに$\mathrm{M}$の要素であるとき，それらの積$AB$も$\mathrm{M}$の要素であることを示せ．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とその逆行列$A^{-1}$がともに$\mathrm{M}$の要素であるとき，$ad-bc=1$が成立することを示せ．

(3)　行列$A$とその逆行列$A^{-1}$がともに$\mathrm{M}$の要素であるような$A$をすべて求めよ．

(4)　$M$の要素であって，$A^6=E$を満たすような行列$A$の個数を求めよ．

【３】　$n$を自然数として，関数$f(x)=x^n{(1-x)}^n$を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値を$n$を用いて表せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$を$n$を用いて表せ．

(3)　実数$a$について，関数$g(x)=ax(1-x)$が次の条件(＊)を満たすとき，$a$の最小値を$n$を用いて表せ．

(＊)　$0\leqq x\leqq 1$のとき$f(x)\leqq g(x)$

(4)　$n$を自然数とするとき

${\displaystyle \frac{(2n+1)!}{6{(n!)}^2}}\geqq 4^{n-1}$

が成立することを示せ．