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2013 東京学芸大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 実数 x y z w x y=1 z+w =1 x w+y z=1 yz w=1 をみたすとき,下の問いに答えよ.

(1)  | z| 1 であることを示せ.

(2)  x y z w の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上に,点 A ( 0,-2 ) と円 C:x2 + (y -2) 2= 4 がある.円 C 上の点 P に対し,線分 AP の中点を M M を通り AP に垂直な直線を l とする.下の問いに答えよ.

(1) 点 P が円 C 上を動くとき,点 M の軌跡を求めよ.

(2) 直線 l が円 C に接するとき,点 M の座標を求めよ.

(3) 点 P が円 C 上を動くとき,直線 l が通る点全体の領域を求め,図示せよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 下の問いに答えよ.

(1) 方程式 x cosx =sinx 4 π3 <x <2 π の範囲にただ 1 つの解をもつことを示せ.

(2) (1)の解を α とおくとき, 0<x <2π において不等式

sinx x- 1 1+α 2 >- 34 π

が成り立つことを示せ.

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【4】  x0 において連続関数 f (x ) が不等式

f( x) a+ 0x 2 tf( t) dt

をみたしているとする. g( x)= ae x2 とするとき,下の問いに答えよ.ただし, a 0 以上の定数である.

(1) 等式

g( x)= a+ 0x 2 tg (t) dt

を示せ.

(2)  h( x)= e-x 2 0x2 tf (t )d t とするとき, x>0 において不等式

h (x) 2a x e-x 2

が成り立つことを示せ.

(3)  x0 において不等式 f (x )g (x ) が成り立つことを示せ.

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