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2013-10264-0101
2013 東京学芸大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 実数 x , y ,z , w が x ⁢y=1 , z+w =1 ,x⁢ w+y⁢ z=1 , y⁢z ⁢w=1 をみたすとき,下の問いに答えよ.
(1) | z| ≠1 であることを示せ.
(2) x ,y , z ,w の値を求めよ.
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【2】 座標平面上に,点 A ( 0,-2 ) と円 C:x2 + (y -2) 2= 4 がある.円 C 上の点 P に対し,線分 AP の中点を M , M を通り AP に垂直な直線を l とする.下の問いに答えよ.
(1) 点 P が円 C 上を動くとき,点 M の軌跡を求めよ.
(2) 直線 l が円 C に接するとき,点 M の座標を求めよ.
(3) 点 P が円 C 上を動くとき,直線 l が通る点全体の領域を求め,図示せよ.
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【3】 下の問いに答えよ.
(1) 方程式 x ⁢cos⁡x =sin⁡x は 4 ⁢π3 <x <2⁢ π の範囲にただ 1 つの解をもつことを示せ.
(2) (1)の解を α とおくとき, 0<x <2⁢π において不等式
sin⁡x x≧- 1 1+α 2 >- 34⁢ π
が成り立つことを示せ.
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【4】 x≧0 において連続関数 f ⁡(x ) が不等式
f⁡( x)≦ a+ ∫0x 2⁢ tf⁡( t)⁢ dt
をみたしているとする. g⁡( x)= a⁢e x2 とするとき,下の問いに答えよ.ただし, a は 0 以上の定数である.
(1) 等式
g⁡( x)= a+ ∫0x 2⁢ t⁢g⁡ (t) ⁢dt
を示せ.
(2) h⁡( x)= e-x 2⁢ ∫ 0x2 ⁢t⁢f ⁡(t )⁢d t とするとき, x>0 において不等式
h′⁡ (x) ≦2⁢a ⁢x⁢ e-x 2
(3) x≧0 において不等式 f ⁡(x )≦g ⁡(x ) が成り立つことを示せ.