2013　東京農工大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& 3\\ -2& -1\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$

について，次の問いに答えよ．

〔1〕　$P^{-1}AP$の$(1,2)$成分と$(2,1)$成分が等しくなるような$a$の値を求めよ．ただし答えのみでよい．

〔2〕　$a$を(1)で求めた値とするとき，自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

〔3〕　$a$を〔1〕で求めた値とするとき，$A^n$が表す$1$次変換によって，$xy$平面上の$2$点$\mathrm{Q}(1,-1)$と$\mathrm{R}(0,2)$とが移る$2$点を通る直線を$L_n$とおく．$L_n$の$y$切片を$y_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

【２】　$xyz$空間に点$\mathrm{P}(0,0,5)$がある．次の問いに答えよ．

〔1〕　球面$x^2+y^2+{(z-2)}^2=9$と平面$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$が交わってできる円を$C$とする．$C$の中心の座標と半径を求めよ．

〔2〕　$C$上に点$\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{1}{2}},s,t)$をとったとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線と$xy$平面との交点を$\mathrm{R}(X,Y,0)$とする．$X\text{，}Y$それぞれを$s\text{，}t$の式で表せ．

〔3〕　$\mathrm{Q}$が$C$上のすべての点を動くとき，$\mathrm{R}$が描く曲線を$C^{\prime }$とする．$C^{\prime }$の長さ$L$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

〔1〕　$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．ただし答えのみでよい．

(2)　直線$y=x$と直線$x={\displaystyle \frac{3}{4}}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

〔2〕　$\alpha ={\displaystyle \frac{2}{5}}x$とする．

(1)　$\cos 3\alpha =\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて，$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ．ただし答えのみでよい．

(2)　$2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和を$N$とする．このとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$Na$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．

【４】　$xy$平面上に$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=\tan x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$C_2\text{：}y=\sqrt{3}k(\cos 2x-{\displaystyle \frac{1}{2}})(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

がある．ただし$k$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕　$t=\tan x$とおく．$\cos 2x$を$t$の式で表せ．ただし答えのみでよい．

〔2〕　$k=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

〔3〕　$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$1$になるときの$k$の範囲を求めよ．