2013　東京農工大学　後期工学部MathJax

【１】　図1-1の曲線

$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^3\theta \\ y=b{\sin }^3\theta \end{array}(a>0\text{，}b>0\text{，}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

に関する以下の問いに答えよ．

〔1〕　この曲線上の点$(a{\cos }^3\theta ,b{\sin }^3\theta )$における接線が，$x$軸と$y$軸とによって切り取られる線分の長さ$L$を求めよ．

〔2〕　この接線と$x$軸と$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．また，その最大値$S_0$とそのときの$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の値を求めよ．

〔3〕　〔2〕で求めた面積$S$が最大値$S_0$をとるときの接線と$x$軸との交点の$x$座標を$p_1\text{，}y$軸との交点の$y$座標を$q_1$とする．このとき，次の曲線，

$\{\begin{array}{l}x=p_{1}a{\cos }^3\theta \\ y=q_{1}b{\sin }^3\theta \end{array}(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

の点$(p_{1}a{\cos }^3\theta ,q_{1}b{\sin }^3\theta )$における接線と両端とで囲まれる部分の面積の最大値$S_1$を$a\text{，}b$から必要なものを用いて表せ．

〔4〕　〔3〕で求めた最大値$S_1$を与える接線と$x$軸との交点の$x$座標を$p_2\text{，}y$軸との交点の$y$座標を$q_2$とする．このとき，次の曲線，

$\{\begin{array}{l}x=p_{2}a{\cos }^3\theta \\ y=q_{2}b{\sin }^3\theta \end{array}(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

に対して上記と同様に曲線の最大値$S_2$を定義する．また，同じようにして$S_3\text{，}{S}_4\text{，}\cdots \text{，}{S}_k\text{，}\cdots$を定義する．このときの$S_k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を$a\text{，}b\text{，}k$から必要なものを用いて表せ．

〔5〕　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{S}_k$を$a\text{，}b\text{，}n$から必要なものを用いて表せ．ただし$n$は非負の整数とする．

〔6〕　無限級数$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{S}_k$が収束する条件を$a\text{，}b$から必要なものを用いて表せ．また，この無限級数が収束するときの和を$a\text{，}b$から必要なものを用いて表せ．

【２】　空間内に原点$\mathrm{O}$をとり，原点とそれぞれ異なる$3$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}\mathrm{B}(\overrightarrow{b})\text{，}\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$をとる．$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$はすべて単位ベクトルであるとし，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=0$の関係があるとする．また$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$は直交していないうえに，平行でもないとする．このとき，以下の問いに答えよ．

〔1〕　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の定める平面$L$上に点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$をとる．

(1)　${\alpha }_1=\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{a}\text{，}{\alpha }_2=\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{b}$と定める．位置ベクトル$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}{\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2$から必要なものを用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{p}\right|=1$であるとき，${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2$についての関係式を求めよ．

〔2〕　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面$M$上に点$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$をとる．

(1)　$g=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$と定める．$g$の取りうる値の範囲を求めよ．

(2)　${\beta }_1=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}{\beta }_2=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{c}$と定める．位置ベクトル$\overrightarrow{q}$は$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて

$\overrightarrow{q}=u\overrightarrow{b}+v\overrightarrow{c}$

と表される．$u$と$v$のおのおのを${\beta }_1\text{，}{\beta }_2\text{，}g$から必要なものを用いて表せ．答えを導く過程も記すこと．

(3)　$\overrightarrow{q}$が$\overrightarrow{b}$と直交する単位ベクトルであるとき．$u$と$v$のおのおのを$g$のみを用いて表せ．ただし，$v>0$とする．答えを導く過程も記すこと．

〔3〕　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}$で定まる平面$N$を考える．前問〔1〕で定義した平面$L$上の点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$からこの平面$N$に垂線をおろし，$N$との交点を$\mathrm{R}(\overrightarrow{r})$とする．

(1)　位置ベクトル$\overrightarrow{r}$は$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて

$\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{c}$

と表される．$x$と$y$のおのおのを${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}g$から必要なものを用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$は$\left|\overrightarrow{p}\right|=1$を満たしているとする．$x$と$y$の関係式を$g$を用いて表せ．

【１】　次の問〔1〕，〔2〕に答えなさい．ただし，答えを導く過程も記述しなさい．

〔1〕　数列$\{a_n\}$が

$a_n=n{2}^{n-1}+n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されている．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$b_n=a_{n+1}-2a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和${S^{\prime }}_n$を求めなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めなさい．

【１】　次の問〔1〕，〔2〕に答えなさい．ただし，答えを導く過程も記述しなさい．

〔2〕　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{8}}-{\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}x\log \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$および$I(a)={\displaystyle {\int }_2^{2a}}f(x)dx$について次の問に答えなさい．ただし，$a>0$とし，$\log$は自然対数を表すものとする．

(1)　$I(a)$を$a$の式で表しなさい．

(2)　$0<a\leqq e$の範囲で$I(a)$の最大値と最小値およびそのときの$a$の値を求めなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．また，$m\geqq 1$に対して$\underset{a\to +0}{\lim }{a}^m\log a=0$が成り立つことは証明なしに用いてよい．