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2013-10270-0101
2013 お茶の水女子大学 前期共通
文教育,生活科,理(化学科,情報科学科)学部
理(数,物理,生物)学部【1】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 tan⁡α =2 ,tan ⁡β=5 , tan⁡ γ=8 , 0< α ,β , γ< π 2 とする.
(1) sin⁡α を求めよ.
(2) tan⁡( α+β +γ ), α+β +γ を求めよ.
(3) β-α >γ- β となることを示せ.
(4) β> 5 ⁢π12 となることを示せ.
2013-10270-0102
文教育,生活科,理(数,情報科,物理, 化学,生物学科)学部共通
【2】 O を原点とする座標平面上の円 x2+ y2- 10⁢x- 10⁢y+ 49=0 を C とする.原点 O を通り,円 C に接する直線のうち,傾きの大きい方を l とする.
(1) l の傾きを求めよ.
(2) x 軸に接し,円 C と外接するような円の中心 P の描く軌跡を求めよ.
(3) 直線 l と x 軸に接し,さらに円 C と外接する円の半径をすべて求めよ.
2013-10270-0103
文教育,生活科学部
【3】 数列 { an } を次のように定める.
a1= a2= a3= 1 ,a n+3 =an +1+ an ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
(1) an +1≦ an+ 2≦2 ⁢an を示せ.
(2) an ≦2n を示せ.
さらに,数列 { bn } を
bn= { 0 an が偶数のとき 1an が奇数のとき ( n= 1, 2 ,3 , ⋯ )
によって定める.また,自然数 k に対して,条件
pk :すべての自然数 n について bn+k =b n が成り立つ
を考える.以下の問いに答えよ.
(3) 条件 p k を満たす最小の自然数 k を求めよ.
(4) p ,q , r を整数とし,数列 { an } の a1 ,a 2 ,a3 を a1=p , a2 =q ,a 3=r に置き換え,数列 { bn } もそれにあわせて置き換える. p ,q , r をどのように選んでも,条件 p k を満たす自然数 k が存在することを示せ.
2013-10270-0104
数学 入試問題さんの解答(PDF)へ
理(数,物理,生物学科)学部
文教育,生活学部【1】の類題
【1】 tan⁡α =2 ,tan⁡ β=5 ,0< α ,β < π2 とする. 0≦x ≦ π2 上で関数
f⁡( x)= sin⁡( α+β +x) +cos⁡( α+β+ x)
を考える.
(1) sin⁡( α+β ), cos⁡( α+β ) を求めよ.
(2) tan⁡( α+β+ x) の値の範囲を求めよ.
(3) f⁡( x) の最大値,最小値を求めよ.
(4) f⁡( x) が最小となるときの x を γ とする. α+β +γ ,tan ⁡γ を求め, β-α <γ- β となることを示せ.
(5) β> 5 ⁢π12 となることを示せ.
2013-10270-0105
理(数,情報科,物理,化学,生物学科)学部
【3】 実数全体で定義された関数 f ⁡(x ), g⁡( x) を次のように定める.
f⁡( x)= ∫ 0π4 ( tan⁡t- x)2 ⁢dt , g⁡( x)= ∫ 0π4 | tan⁡t- x| ⁢dt
(1) ∫ 0π4 tan⁡t ⁢dx , ∫0π 4tan 2⁡t⁢ dt を求めよ.
(2) f⁡( x) の最小値とそのときの x の値を求めよ.
(3) g⁡( x) の最小値とそのときの x の値を求めよ.