2013　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　$\tan \alpha =2\text{，}\tan \beta =5\text{，}\tan \gamma =8\text{，}0<\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　$\sin \alpha$を求めよ．

(2)　$\tan (\alpha +\beta +\gamma )\text{，}\alpha +\beta +\gamma$を求めよ．

(3)　$\beta -\alpha >\gamma -\beta$となることを示せ．

(4)　$\beta >{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$となることを示せ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の円$x^2+y^2-10x-10y+49=0$を$C$とする．原点$\mathrm{O}$を通り，円$C$に接する直線のうち，傾きの大きい方を$l$とする．

(1)　$l$の傾きを求めよ．

(2)　$x$軸に接し，円$C$と外接するような円の中心$\mathrm{P}$の描く軌跡を求めよ．

(3)　直線$l$と$x$軸に接し，さらに円$C$と外接する円の半径をすべて求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=a_2=a_3=1\text{，}{a}_{n+3}=a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_{n+1}\leqq a_{n+2}\leqq 2a_n$を示せ．

(2)　$a_n\leqq \sqrt{2^n}$を示せ．

　さらに，数列$\{b_n\}$を

$b_n=\{\begin{array}{ll}0& a_n\text{が偶数のとき}\\ 1& a_n\text{が奇数のとき}\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．また，自然数$k$に対して，条件

${\mathrm{p}}_k$：すべての自然数$n$について$b_{n+k}=b_n$が成り立つ

を考える．以下の問いに答えよ．

(3)　条件${\mathrm{p}}_k$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．

(4)　$p\text{，}q\text{，}r$を整数とし，数列$\{a_n\}$の$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を$a_1=p\text{，}{a}_2=q\text{，}{a}_3=r$に置き換え，数列$\{b_n\}$もそれにあわせて置き換える．$p\text{，}q\text{，}r$をどのように選んでも，条件${\mathrm{p}}_k$を満たす自然数$k$が存在することを示せ．

【１】　$\tan \alpha =2\text{，}\tan \beta =5\text{，}0<\alpha \text{，}\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$上で関数

$f(x)=\sin (\alpha +\beta +x)+\cos (\alpha +\beta +x)$

を考える．

(1)　$\sin (\alpha +\beta )\text{，}\cos (\alpha +\beta )$を求めよ．

(2)　$\tan (\alpha +\beta +x)$の値の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

(4)　$f(x)$が最小となるときの$x$を$\gamma$とする．$\alpha +\beta +\gamma \text{，}\tan \gamma$を求め，$\beta -\alpha <\gamma -\beta$となることを示せ．

(5)　$\beta >{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$となることを示せ．

【３】　実数全体で定義された関数$f(x)\text{，}g(x)$を次のように定める．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{(\tan t-x)}^{2}dt\text{，}g(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}|\tan t-x|dt$

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}\tan tdx\text{，}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\tan }^{2}tdt$を求めよ．

(2)　$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　$g(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．