2013　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

(1)　$I+J+J^2\text{，}{J}^3$を求めよ．

(2)　$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)=J\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)=J^2\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)$のとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は正三角形をなすことを示せ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が異なり，

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)+J\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)+J^2\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形となることを示せ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}|x|\text{，}g(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^x}f(t)dt$

によって定める．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$g(x)$を計算し，$y=g(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　$y=g(x)$の逆関数$y=g^{-1}(x)$を求め，そのグラフの概形を描け．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^1}{(g^{-1}(x))}^{2}dx$を計算せよ．

(5)　$y=g^{-1}(x)$は$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で微分可能であることを示せ．

$a_k=\{\begin{array}{ll}1& k\text{回目の硬貨投げの結果が表のとき}\\ -1& k\text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき}\end{array}$

　また，この$a_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を用いて$n$次式$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{x}^k$で定める．

(1)　$n$が偶数のとき，$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．

(2)　$n$が$4$の倍数のとき，$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．

(3)　$n$が$2$以上の自然数のとき，$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ．

(1)　$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は最大でも$1$本しか存在しないことを示せ．

(2)　$a=1$のとき，条件$b\ne 0$は条件

$C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$1$本だけ存在する

の必要十分条件であることを示せ．

(3)　条件${\mathrm{p}}_1\text{，}{\mathrm{p}}_2\text{，}{\mathrm{q}}_1\text{，}{\mathrm{q}}_2$を次で定める．

${\mathrm{p}}_1$：$C_2$は下に凸である．

${\mathrm{p}}_2$：$C_2$は上に凸である．

${\mathrm{q}}_1$：$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わる．

${\mathrm{q}}_2$：$C_1$と$C_2$が交わらない．

$a\ne 1$のとき，条件

$\mathrm{p}$：「${\mathrm{p}}_1$かつ${\mathrm{q}}_1$」または「${\mathrm{p}}_2$かつ${\mathrm{q}}_2$」

は条件

$\mathrm{q}$：$C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$2$本存在する

の必要十分条件であることを示せ．