2013　電気通信大学　後期MathJax

$f(x)={\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x-{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{4}}{\sin }^{2}x$

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$\sin x-\cos x=A\sin (x-\alpha )$となるような定数$A\text{，}\alpha$を求めよ．ただし，$A>0\text{，}0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(ⅲ)　区間$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$を求めよ．

(ⅳ)　区間$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$f(x)$の増減を調べ，その区間で$f(x)$を最小にする$x$の値$x_0$を求めよ．

(ⅴ)　$\sin x_0$の値を求めよ．

(ⅵ)　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{x_0}}{\cos }^{4}xdx$を求めよ．

$f(x)=e^{ax}\cos kx$

$g(x)=e^{ax}\sin kx$

$h(x)=e^{ax}(a\cos kx-k\sin kx)$

に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{I_n\}$を

$I_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}h(x)dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，$I_n$を求めよ．

(ⅲ)　上の数列$(I_n\}$に対して，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{I}_n$が収束するための$a$の条件を求めよ．また，そのときの無限級数の和$S$を求めよ．

　以下の問いでは，$a=k$（正の偶数）の場合を考える．

(ⅳ)　次の定積分$A\text{，}B$を$k$を用いて表せ．

$A={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)dx\text{，}B={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}g(x)dx$

(ⅴ)　曲線$y=h(x)\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を$k$を用いて表せ．

$A=\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ 10& -3\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$

が$AP=PB$を満たすとする．$2$次の単位行列を$E$で表すとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$AX=E$となる行列$X$を求めよ．

(ⅱ)　$r\text{，}s$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(ⅲ)　さらに，$p\text{，}q$が正の整数で，$P$とその逆行列$P^{-1}$の成分がすべて整数であるとする．このとき，$p\text{，}q$を求めよ．

(ⅳ)　$A$の$n$個の積$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(ⅴ)　$A^n{Y}_n=E$となる行列$Y_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(ⅵ)　$Y_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とおくとき，極限値

$\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}\beta =\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\text{，}\gamma =\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n\text{，}\delta =\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n$

をそれぞれ求めよ．

$(0,n)\text{，}(1,n-1)\text{，}(2,n-2)\text{，}\cdots \text{，}(n-1,1)\text{，}(n,0)$

の$n+1$組ある．このうち，$i$と$j$を足すとき，どの$\stackrel{\text{くらい}}{\text{位}}$でも$\stackrel{\text{く}}{\text{繰}}$り上がりが起きないような組$(i,j)$全体からなる集合を$A(n)$とし，$A(n)$の要素の個数を$a(n)$とする．たとえば，$n=10$のとき，$A(10)=\{(0,10),(10,0)\}$で，$a(10)=2$である．

参考　$n=265$のとき，次の筆算の最初から$3$つは，順に，$1$の位，$10$の位，その両方で繰り上がりが起きる組$(i,j)$の例で，最後は繰り上がりが起きない組$(i,j)$の例である．

• 	$247$
  $+$	$18$
  	$265$

• 	$92$
  $+$	$173$
  	$265$

• 	$186$
  $+$	$79$
  	$265$

• 	$211$
  $+$	$54$
  	$265$

　このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$n$を自然数とし，$(i,j)$を$A(n)$の要素とする．$n\text{，}i\text{，}j$の$1$の位の数をそれぞれ$n_1\text{，}{i}_1\text{，}{j}_1$とするとき，$n_1$を$i_1\text{，}{j}_1$を用いて表せ．

(ⅱ)　$n$を$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の自然数とし，$(i,j)$を$A(n)$の要素とする．$n\text{，}i\text{，}j$の$10$の位の数をそれぞれ$n_2\text{，}{i}_2\text{，}{j}_2$とするとき，$n_2$を$i_2\text{，}{j}_2$を用いて表せ．ただし，$i$が$1$桁のときは$i_2=0\text{，}j$が$1$桁のときは$j_2=0$とする．

(ⅲ)　$n$を$2$桁の自然数とし，$n$の$1$の位の数を$n_1\text{，}n$の$10$の位の数を$n_2$とする．$A(n)$の要素の個数$a(n)$を$n_1\text{，}{n}_2$を用いて表せ．

(ⅳ)　$n$を$m$桁の自然数とし，$n$の${10}^{k-1}$の位の数を$n_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}m\text{）}$とする．$a(n)$を$n_1\text{，}{n}_2\text{，}{n}_3\text{，}\cdots \text{，}{n}_m$を用いて表せ．

(ⅴ)　$n$が$m$桁の自然数全体を動くときの$a(n)$の総和を

$S(m)=a({10}^{m-1})+a({10}^{m-1}+1)+a({10}^{m-1}+2)+\cdots +a({10}^m-1)$

とおく．このとき，$S(m)$を求めよ．