2013　一橋大学　前期MathJax

【１】　$3p^3-p^{2}q-p{q}^2+3q^3=2013$を満たす正の整数$p\text{，}q$の組をすべて求めよ．

【２】　平面上の$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が

$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{OC}=2\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3$

を満たすとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，放物線$C:y=1-x^2$がある．$C$上に$2$点$\mathrm{P}(p,1-p^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,1-q^2)$を$p<q$となるようにとる．

(1)　$2$つの線分$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積$S$を，$p$と$q$の式で表せ．

(2)　$q=p+1$であるとき$S$の最小値を求めよ．

(3)　$pq=-1$であるとき$S$の最小値を求めよ．

【４】　$t$を正の定数とする．原点を$\mathrm{O}$とする空間内に，$2$点$\mathrm{A}(2t,2t,0)\text{，}\mathrm{B}(0,0,t)$がある．また動点$\mathrm{P}$は

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=3$

を満たすように動く．$\mathrm{OP}$の最大値が$3$となるような$t$の値を求めよ．

【５】　サイコロを$n$回投げ，$k$回目に出た目を$a_k$とする．また，$s_n$を$s_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{10}^{n-k}{a}_k$で定める．

(1)　$s_n$が$4$で割り切れる確率を求めよ．

(2)　$s_n$が$6$で割り切れる確率を求めよ．

(3)　$s_n$が$7$で割り切れる確率を求めよ．