2013　一橋大学　後期MathJax

【１】(1)　正の実数$x\text{，}y\text{，}z$が$x^2=y^2+z$を満たすとき，$y<x<y+{\displaystyle \frac{z}{2y}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$x^2=y^2+8\sqrt{2y-1}$を満たす正の整数$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

【２】　$xy$平面上に，曲線$C_1\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{8}}-2$と，原点を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．

(1)　$t$を実数とする．曲線$C_1$上の点$(t,{\displaystyle \frac{t^2}{8}}-2)$から円$C_2$へ引いた$2$本の接線が，それぞれ点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$で$C_2$と接する．${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$を通る直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた直線$l$は，$t$の値にかかわらず，ある円に接することを示し，その円の方程式を求めよ．

【３】　平面上に，原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(0,1)$を頂点とする$▵\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{OA}$上の動点$\mathrm{P}$と，辺$\mathrm{OB}$上の動点$\mathrm{Q}$は，線分$\mathrm{PQ}$が$▵\mathrm{OAB}$の面積を$2$等分するように動く．線分$\mathrm{PQ}$が通る点の全体からなる領域を図示せよ．

【４】　袋の中に，青玉，黄玉，赤玉が$1$個ずつ合計$3$個の玉が入っている．袋から無作為に$1$個の玉を取り出し，その玉を袋の中に戻す操作を繰り返す．

(1)　この操作を$n$回繰り返したとき，青玉が奇数回取り出される確率$p_n$を求めよ．

(2)　取り出した玉の色により，青玉のときは階段を$2$段上がり，黄玉のときは階段を$1$段上がる．赤玉のときは動かない．この操作を$n$回繰り返したとき，合計で階段を$3$段上がった位置にいる確率$q_n$を求めよ．

【５】　$a$を実数とする．$xy$平面上の曲線$y=x^3+3a{x}^2-4a^3$の接線で点$(a,1)$を通るものが，ちょうど$2$本存在する．$a$を求めよ．

【６】　$e^{\pi }$と${\pi }^e$の大小を比較せよ．