2013　東京海洋大学　前期海洋工学部

【１】　$S=\left(\begin{array}{cc}2+3\cos 2\theta & 3\sin 2\theta \\ 3\sin 2\theta & 2=3\cos 2\theta \end{array}\right)$とする．以下，$\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$の形の行列を対角行列と呼ぶ．

(1)　$Q=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$とするとき，$D=Q^{-1}SQ$が対角行列になることを示せ．

(2)　$2\times 2$行列$X$が$XD=DX$を満たすとき，$X$は対角行列になることを示せ．

(3)　$2\times 2$行列$T$が$TS=ST$を満たすとき，$Q^{-1}TQ$は対角行列になることを示せ．

【２】　平面上に異なる$4$点$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{B}}_0\text{，}{\mathrm{C}}_0$をとる．$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，点${\mathrm{A}}_n\text{，}{\mathrm{B}}_n\text{，}{\mathrm{C}}_n$をそれぞれ線分${\mathrm{B}}_{n-1}{\mathrm{C}}_{n-1}\text{，}{\mathrm{C}}_{n-1}{\mathrm{A}}_{n-1}\text{，}{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{B}}_{n-1}$の中点とする．

(1)　$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1}$を$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_0}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{C}}_0}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}$を$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_0}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{C}}_0}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_n}$を$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_0}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{C}}_0}$と$n$を用いて表せ．

【３】　座標平面上の曲線$K$を$y=x^3-x+1$とする．

(1)　点$(t,t^3-t+1)$における$K$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　点$(1,5)$を通る直線$l$が$K$と接するとき，接点の座標を求めよ．

(3)　直線$l$と$K$で囲まれた図形の面積を定めよ．ただし，${\displaystyle \int }{x}^{3}dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+c$（$C$は積分定数）を用いてよい．

【４-Ⅰ】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(t,t)\text{，}\mathrm{B}(t-1,-t+1)$をとり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$t$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$の方程式を$t$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた方程式を満たす実数$t$が存在するための$x\text{，}y$についての条件を求め，条件を満たす点$(x,y)$全体の領域$D$を座標平面内に図示せよ．

(4)　(1)で求めた点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を$y=f(x)$とする．連立不等式

$y\geqq x\text{，}y\geqq -x\text{，}y\leqq 1\text{，}y\geqq f(x)$

のあらわす領域と領域$D$の共通部分の面積を求めよ．

【４-Ⅱ】　$f(x)=2\sin x+\cos 2x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$とする．

(1)　関数$y=f(x)$の極値を求めてグラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(2)　方程式$f(x)=0$の解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}0\leqq \alpha <\beta \leqq 2\pi \text{）}$とする．$\sin \alpha \text{，}\cos \alpha \text{，}\sin \beta \text{，}\cos \beta$の値を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形で，第$4$象限に含まれる部分の面積を求めよ．