2013　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　実数$a\text{，}x\text{，}y\text{，}z$が

$\{\begin{array}{l}x+y+z=a\\ x^2+y^2+z^2=a^2-2a+14\\ x^3+y^3+z^3=a^3-3a^2+3a+18\end{array}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$xy+yz+zx$および$xyz$を$a$の式で表せ．

(2)　$x\text{，}y\text{，}z$のうち少なくとも$2$つが等しいとき，$a\text{，}x\text{，}y\text{，}z$を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^2}(|t^2-xt|+{\displaystyle \frac{1}{2}}|t-2x|)dt$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を求めよ．

【３】　$1$つの整数を表示する装置がある．最初に$2013$が表示されている．さいころを$1$回投げるたびに次の操作(＊)を行なう．

(＊)表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．

　さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が$0$である確率を$a_n\text{，}1$である確率を$b_n\text{，}3$である確率を$c_n$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{c}_1$を求めよ．

(2)　$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を$a_{n-1}\text{，}{b}_{n-1}\text{，}{c}_{n-1}$を用いて表せ．

(3)　$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を$n$の式で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{-x}{\sin }^{2}xdx$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{1+2\sqrt{x}}dx$を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は$A^2=A$を満たす．行列$B$は$B\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right)\text{，}{B}^2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$を満たす．次の問いに答えよ．

(1)　$a+d\text{，}ad-bc$を求めよ．

(2)　$B$を$a$を用いて表せ．

(3)　$c=1$のとき，実数$s\text{，}t$に対して

${(sA+tB)}^n=x_{n}A+y_{n}B\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と表されることを示し，$x_n\text{，}{y}_n$を$s\text{，}t\text{，}n$を用いて表せ．

【３】　$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点である．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす$\theta$に対し，$xy$平面の第$1$象限の点$\mathrm{P}$および$x$軸の正の部分にある点$\mathrm{Q}$を

$\angle \mathrm{QOP}=\theta \text{，}\angle \mathrm{PQO}=2\theta \text{，}\mathrm{PQ}=1$

を満たすようにとる．$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の範囲を動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡を$C_1\text{，}\mathrm{R}$の軌跡を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2$を求め，それらを図示せよ．

(3)　$C_1\text{，}{C}_2$および$x$軸で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【５】　関数$f(x)=e^{ax}\text{（}a>0\text{）}$と次の条件(ア)，(イ)を満たす関数$g(x)$がある．

　次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q\text{，}r$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$がすべての正の実数を動くとき，$r$を最小にする$a$の値を求めよ．