2013　横浜国立大学　後期MathJax

$3\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+5\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{0}$

を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．

(1)　$g(x)=a{x}^2+bx$（$a\text{，}b$は実数）に対して，$x{g}^{\prime }(x)\text{，}{\displaystyle {\int }_0^x}(g(t+1)-g(t))dt$を求めよ．

(2)　$1$枚の硬貨を$n$回投げ，$f(x)$を以下の(ア)，(イ)，(ウ)で定める．

　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$n=2$のとき，硬貨の表裏の出方すべてに対して，$f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　硬貨を$n$回投げて，すべて裏が出たときの$f(x)$を求めよ．

(ⅲ)　$n=5$のとき，$f(x)=8x^2+10x$となる場合の表裏の出方を求めよ．

(1)　$\cos 3\theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$\theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$\theta$のうち最小のものを${\theta }_1$とし，$\alpha =2\cos {\theta }_1$とおく．$\alpha$を解にもち，整数を係数とする$3$次方程式を$1$つ求めよ．

(3)　(2)で求めた方程式の$\alpha$と異なる$2$つの解を$\beta \text{，}\gamma \text{（}\beta >\gamma \text{）}$とする．$\beta \text{，}\gamma$を，整数を係数とする$\alpha$の$2$次式で表せ．

(4)　${\alpha }^2\beta +{\beta }^2\gamma +{\gamma }^2\alpha$の値を求めよ．

(1)　$f(x)$の増減，極値を調べ，$C$の概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．

(2)　$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

(1)　$g(x)=a{x}^2+bx$（$a\text{，}b$は実数）に対して，$x{g}^{\prime }(x)\text{，}{\displaystyle {\int }_0^x}(g(t+1)-g(t))dt$を求めよ．

(2)　$1$枚の硬貨を$n$回投げ，$f(x)$を以下の(ア)，(イ)，(ウ)で定める．

　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$n=2$のとき，硬貨の表裏の出方すべてに対して，$f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$n=5$のとき，$f(x)=8x^2+10x$となる場合の表裏の出方を求めよ．

(ⅲ)　硬貨を$n$回投げて得られる$f(x)$のうち，$x$の係数が最大となる$f(x)$をすべて求めよ．

(1)　$L$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{A}$が曲線${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$の$x>0\text{，}y>0$を満たす部分を動くとき，$L$の最大値を求めよ．