Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2013年度一覧へ
大学別一覧へ
新潟大一覧へ
2013-10321-0101
望星塾さんの解答(PDF7頁29行目)へ
2013 新潟大学 前期
経済,人文,教育,農学部
理,工,医,歯学部【1】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 正の実数 a , b に対して,次の連立不等式の表す領域を D とする.
{ a⁢x +y≧6 0≦ x≦b 0≦y
次の問いに答えよ.
(1) a= 32 ,b= 3 であるとする.点 P ( x,y ) が領域 D 内を動くとき, 5⁢x +2⁢x の最大値と,そのときの x , y の値を求めよ.
(2) a= 32 , b=6 であるとする.点 P ( x,y ) が領域 D 内を動くとき, 3⁢x +y の最大値と,そのときの x , y の値を求めよ.
(3) a=5 であるとする.点 P ( x,y ) が領域 D 内を動くとき, 4⁢x +y の最大値と,そのときの x , y の値を求めよ.
2013-10321-0102
望星塾さんの解答(PDF2頁13行目)へ
経済,人文,教育,農,理,工,医,歯学部
【2】 一辺の長さが 1 の正方形 ABCD を考える.点 P は,点 B , C を除いた辺 BC 上を動くとする.点 P を通り直線 AP と垂直な直線と辺 CD との交点を Q とする.線分 BP の長さを x とするとき,次の問いに答えよ.
(1) ▵CPQ の面積 S を, x を用いて表せ.
(2) 面積 S の最大値と,そのときの x の値を求めよ.
(3) 線分 AQ の長さ L の最小値と,そのときの x の値を求めよ.
2013-10321-0103
望星塾さんの解答(PDF8頁32行目)へ
【3】 正の整数 n に対して an= 1+n 2-n とおく.次の問いに答えよ.
(1) 不等式 12⁢n +1 <an <1 2⁢n が成り立つことを示せ.
(2) 不等式 an> an+ 1 が成り立つことを示せ.
(3) an< 0.03 となる最小の正の整数 n を求めよ.
2013-10321-0104
望星塾さんの解答(PDF10頁1行目)へ
【4】 1 次関数 f ⁡(x )=p ⁢x+q に対して, x の係数 p と定数項 q を成分にもつベクトル ( p,q ) を f → とする.つまり, f→ =( p,q ) とする.次の問いに答えよ.
(1) 定積分
∫ -3 3 ⁡(k ⁢x+l )⁢ (m⁢ x+n) ⁢dx
を求めよ.ただし, k ,l , m ,n は定数である.
(2) 2 つの 1 次関数 g ⁡(x ) と h ⁡(x ) に対して,等式
1 2⁢3 ⁢ ∫- 33 ⁡ g⁡( x)⁢ h⁡( x)⁢ dx= g→ ⋅h→
が成り立つことを示せ.ただし, g→ ⋅h → はベクトル g→ , h→ の内積を表す.
(3) 等式
∫ -3 3 ⁡( 2⁢x+ 1) 2⁢dx ⁢ ∫-3 3 ⁡ {g⁡ (x) }2 ⁢dx= { ∫- 33 ⁡( 2⁢x+1 )⁢g⁡ (x) ⁢dx} 2
を満たし, g⁡( 0)= -2 であるような 1 次関数 g ⁡(x ) を求めよ.
2013-10321-0105
望星塾さんの解答(PDF1頁3行目)へ
理,工,医,歯学部
経済,人文,教育,農学部【1】の類題
(2) a=1 , b=9 であるとする.点 P ( x,y ) が領域 D 内を動くとき, 2⁢x+ y の最大値と,そのときの x , y の値を求めよ.
(3) a⁢b= 9 であり,点 P ( x,y ) が領域 D 内を動くときの 2 ⁢x+y の最大値が 16 であるとする.このとき, a ,b の値を求めよ.
2013-10321-0106
望星塾さんの解答(PDF3頁18行目)へ
【3】 a を実数とし, E=( 1 0 01 ) とする.行列 A =( a-4 - 3⁢a 42 ) は A3=- a2⁢ E を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1) a の値を求めよ.
(2) A+A 2+A 3+A 4+A 5+A 6 を求めよ.
(3) A+A 2+A 3+⋯ +A2011 +A2012 +A2013 を求めよ.
2013-10321-0107
望星塾さんの解答(PDF5頁3行目)へ
【4】 平面上の 2 つのベクトル a→ ,b → はそれぞれの大きさが 1 であり,また平行でないとする.次の問いに答えよ.
(1) t≧0 であるような実数 t に対して,不等式
0< | a→+ t⁢b → | 2≦ (1+ t) 2
が成立することを示せ.
(2) t≧0 であるような実数 t に対して p→= 2 ⁢t2 ⁢b→ | a→+ t⁢b→ | 2 とおき, f⁡( t)= | p→ | とする.このとき,不等式
f⁡( t)≧ 2 ⁢t2 ( 1+t) 2
(3) f⁡( t)= 1 となる正の実数 t が存在することを示せ.
2013-10321-0108
望星塾さんの解答(PDF6頁5行目)へ
【5】 微分可能な関数 f ⁡(x ) が,すべての実数 x , y に対して
f⁡( x)⁢ f⁡( y)- f⁡( x+y) =sin⁡x ⁢sin⁡y
を満たし,さらに f ′⁡( 0)= 0 を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1) f⁡( 0) を求めよ.
(2) 関数 f ⁡(x ) の導関数 f ′⁡( x) を求めよ.
(3) 定積分 ∫0π 3⁡ dx f⁡( x) を求めよ.