2013　新潟大学　前期MathJax

【１】　正の実数$a\text{，}b$に対して，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}ax+y\geqq 6\\ 0\leqq x\leqq b\\ 0\leqq y\end{array}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$a={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}b=3$であるとする．点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$5x+2x$の最大値と，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}b=6$であるとする．点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$3x+y$の最大値と，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(3)　$a=5$であるとする．点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$4x+y$の最大値と，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．

(2)　面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

【３】　正の整数$n$に対して$a_n=\sqrt{1+n^2}-n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　不等式${\displaystyle \frac{1}{2n+1}}<a_n<{\displaystyle \frac{1}{2n}}$が成り立つことを示せ．

(2)　不等式$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示せ．

(3)　$a_n<0.03$となる最小の正の整数$n$を求めよ．

【４】　$1$次関数$f(x)=px+q$に対して，$x$の係数$p$と定数項$q$を成分にもつベクトル$(p,q)$を$\overrightarrow{f}$とする．つまり，$\overrightarrow{f}=(p,q)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}}(kx+l)(mx+n)dx$

を求めよ．ただし，$k\text{，}l\text{，}m\text{，}n$は定数である．

(2)　$2$つの$1$次関数$g(x)$と$h(x)$に対して，等式

${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}{\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}}g(x)h(x)dx=\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{h}$

が成り立つことを示せ．ただし，$\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{h}$はベクトル$\overrightarrow{g}\text{，}\overrightarrow{h}$の内積を表す．

(3)　等式

${\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}}{(2x+1)}^{2}dx{\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}}{\{g(x)\}}^{2}dx={\{{\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}}(2x+1)g(x)dx\}}^2$

を満たし，$g(0)=-2$であるような$1$次関数$g(x)$を求めよ．

【１】　正の実数$a\text{，}b$に対して，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}ax+y\geqq 6\\ 0\leqq x\leqq b\\ 0\leqq y\end{array}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$a={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}b=3$であるとする．点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$5x+2x$の最大値と，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(2)　$a=1\text{，}b=9$であるとする．点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$2x+y$の最大値と，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(3)　$ab=9$であり，点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$内を動くときの$2x+y$の最大値が$16$であるとする．このとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【３】　$a$を実数とし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -4\\ -{\displaystyle \frac{3a}{4}}& 2\end{array}\right)$は$A^3=-a^{2}E$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6$を求めよ．

(3)　$A+A^2+A^3+\cdots +A^{2011}+A^{2012}+A^{2013}$を求めよ．

【４】　平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$はそれぞれの大きさが$1$であり，また平行でないとする．次の問いに答えよ．

(1)　$t\geqq 0$であるような実数$t$に対して，不等式

$0<{|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}^2\leqq {(1+t)}^2$

が成立することを示せ．

(2)　$t\geqq 0$であるような実数$t$に対して$\overrightarrow{p}={\displaystyle \frac{2t^2\overrightarrow{b}}{{|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}^2}}$とおき，$f(t)=\left|\overrightarrow{p}\right|$とする．このとき，不等式

$f(t)\geqq {\displaystyle \frac{2t^2}{{(1+t)}^2}}$

が成立することを示せ．

(3)　$f(t)=1$となる正の実数$t$が存在することを示せ．

【５】　微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$x\text{，}y$に対して

$f(x)f(y)-f(x+y)=\sin x\sin y$

を満たし，さらに$f^{\prime }(0)=0$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{dx}{f(x)}}$を求めよ．