2013　新潟大学　推薦理学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$9^x-2\times 3^{x+2}+81=0$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　命題「$2$つの三角形の面積が等しいならば，それらの三角形は合同である」の対偶を述べて，その真偽を調べよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{21}-\sqrt{15}}{\sqrt{14}+\sqrt{10}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{21}+\sqrt{15}}{\sqrt{14}-\sqrt{10}}}$のとき，$2x^2-6xy+2y^2$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$\cos 2\theta -\sin \theta <0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．

【２】　等差数列

$1\text{，}3\text{，}5\text{，}7\text{，}9\text{，}11\text{，}13\text{，}15\text{，}17\text{，}19\text{，}\cdots$

を考え，これらをそれぞれ

$[1]\text{，}[3\text{，}5]\text{，}[7\text{，}9\text{，}11]\text{，}[13\text{，}15\text{，}17\text{，}19]\text{，}\cdots$

のように$1$個，$2$個，$3$個，$4$個，$\cdots$の項からなるグループに分ける．そして，$n$番目のグループの中の先頭の項を$a_n$と表す．例えば，

$a_1=1\text{，}{a}_2=3\text{，}{a}_3=7\text{，}\cdots$

である．また，$n$番目のグループに含まれる項の総和を$b_n$と表す．例えば，

$b_1=1\text{，}{b}_2=3+5\text{，}{b}_3=7+9+11\text{，}\cdots$

である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_6$と$b_6$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

(3)　一般項$b_n$を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$の内部に$3\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+5\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$を満たすような点$\mathrm{P}$がある．また，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$および$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}$を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{PAB}\text{，}▵\mathrm{PBC}\text{，}▵\mathrm{PCA}$の面積の比を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=x+\sqrt{2-x^2}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．