2013　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　$2$次正方行列$A$と$2$つの列ベクトル$X=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$があり，$AX=3Y\text{，}AY=X$が成り立っているとする．下の問いに答えなさい．

(1)　$A$と$A^2$を求めなさい．

(2)　自然数$n$について$A^n$を求めなさい．

【２】　$c$を正の定数とする．平面上の原点$\mathrm{O}(0,0)$および$3$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,-1)\text{，}\mathrm{C}(c,0)$について下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の$2$乗の和${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の和$\mathrm{AQ}+\mathrm{BQ}+\mathrm{CQ}$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

【３】　$a$を実数の定数とする．$2$曲線$y=x^2$と$y={\displaystyle \frac{4}{x+a}}$がちょうど$2$つの共有点を持っているとき，下の問いに答えなさい．

(1)　$a$の値を求めなさい．

(2)　$2$曲線で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【４】　$2$チームが試合をする．$1$回の試合で一方が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$で，引き分けは起こらないとする．先に$4$勝したチームを優勝とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)　第$4$試合で優勝が決まる確率を求めなさい．

(2)　第$7$試合で優勝が決まる確率を求めなさい．

(3)　$2$チームの勝ち数の差が，優勝が決まるまで常に$1$以下である確率を求めなさい．

※「$2$チームの勝ち数の差が，常に$1$以下」とは「優勝決定時も含めて勝ち数の差は$1$以下」という意味です．