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2013-10327-0101
2013 長岡技術科学大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 2 次正方行列 A と 2 つの列ベクトル X =( 2 5 ), Y=( 1 3 ) があり, A⁢X =3⁢Y , A⁢Y =X が成り立っているとする.下の問いに答えなさい.
(1) A と A 2 を求めなさい.
(2) 自然数 n について A n を求めなさい.
2013-10327-0102
【2】 c を正の定数とする.平面上の原点 O ( 0,0 ) および 3 点 A ( 0,1 ), B (0 ,-1 ), C (c ,0) について下の問いに答えなさい.
(1) 点 P が線分 OC 上を動くとき, 3 点からの距離の 2 乗の和 AP 2+BP 2+CP 2 の最小値とそのときの P の座標を求めなさい.
(2) 点 Q が線分 OC 上を動くとき, 3 点からの距離の和 AQ +BQ+CQ の最小値とそのときの Q の座標を求めなさい.
2013-10327-0103
【3】 a を実数の定数とする. 2 曲線 y =x2 と y =4 x+a がちょうど 2 つの共有点を持っているとき,下の問いに答えなさい.
(1) a の値を求めなさい.
(2) 2 曲線で囲まれた図形の面積を求めなさい.
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【4】 2 チームが試合をする. 1 回の試合で一方が勝つ確率は 12 で,引き分けは起こらないとする.先に 4 勝したチームを優勝とするとき,下の問いに答えなさい.
(1) 第 4 試合で優勝が決まる確率を求めなさい.
(2) 第 7 試合で優勝が決まる確率を求めなさい.
(3) 2 チームの勝ち数の差が,優勝が決まるまで常に 1 以下である確率を求めなさい.
※「 2 チームの勝ち数の差が,常に 1 以下」とは「優勝決定時も含めて勝ち数の差は 1 以下」という意味です.