2013　富山大学　前期MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たすとする．

(条件１)　関数$f(x)$は，$x=1$と$x=2$で極値をもつ

(条件２)　整式$f(x)$を$x^2-3x+1$で割った余りは$-x+2$である

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$を解け．

(3)　関数$f(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．

【２】　$6$つの面にそれぞれ$0\text{，}0\text{，}1\text{，}-1\text{，}i\text{，}-i$と書かれたさいころがある．ここで$i$は虚数単位である．このサイコロを$3$回投げ，$1$回目に出た目の値を$X_1\text{，}2$回目に出た目の値を$X_2\text{，}3$回目に出た目の値を$X_3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　積$X_1{X}_2$が実数となる確率を求めよ．

(2)　和$X_1+X_2$が実数となる確率を求めよ．

(3)　積$X_1{X}_2{X}_3$が$0$となる確率を求めよ．

【３】　$2$つの曲線$C_1\text{：}y=|x^2-1|\text{，}{C}_2\text{：}y=m{(x+1)}^2\text{（}0<m<1\text{）}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$の範囲における$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\alpha \text{，}\beta$を$m$を用いて表せ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形のうち，$x\leqq \alpha$を満たす部分の面積を$S_1\text{，}x\geqq \alpha$を満たす部分の面積を$S_2$とおく．$S_1\text{，}{S}_2$を，$m$を用いて表せ．

(3)　$S_1=S_2$のとき$m$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{AB}=1\text{，}\angle \mathrm{BAC}=\theta (0<\theta <\pi \text{，}\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$である$▵\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$またはその延長に垂線$\mathrm{BP}$を下ろし，点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\sin \theta =t$とするとき，$▵\mathrm{BPQ}$の面積を$t$を用いて表せ．

(2)　$\theta$を動かすとき，$▵\mathrm{BPQ}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　直線$y=ax\text{（}a>0\text{）}$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とし，曲線$y=x+\sin x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$と$x$軸，および直線$x=2\pi$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$W$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$V$を$a$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$において，$x+\sin x>0$であることを示せ．

(3)　$W$の値を求めよ．

(4)　$V=W$のとき，$a$の値を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x+2\sin x$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の増減を調べ，そのグラフをかけ．

(2)　$0\leqq x<2\pi$において関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を$\alpha \text{，}\beta \text{（}0<\alpha <\beta <2\pi \text{）}$とする．曲線$y=f(x)$の$\alpha \leqq x\leqq \beta$の部分と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha \text{，}x=\beta$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【２】　$f(x)={(1-x)}^3$とし，曲線$y=f(x)$上の点$(0,1)$における接線の方程式を$y=p(x)\text{，}$点$(t,f(t))$における接線の方程式を$y=q_t(x)$とする．さらに，関数$F(t)$を

$F(t)={\displaystyle {\int }_0^t}p(x)dx+{\displaystyle {\int }_t^1}{q}_t(x)dx$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$F(t)$を求めよ．

(2)　$F^{\prime }(0)\text{，}{F}^{\prime }(1)$の値を求めよ．

(3)　$F(t)$を最大にする$t$の値がただ$1$つ定まることを示せ．

【３】　$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,(1+t)\cos t+\sin t)\text{，}\mathrm{B}(-1,-(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l_t$の方程式を求めよ．

(2)　$k$を定数とし，直線$l_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．

(3)　$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，直線$l_t$の通りうる領域を図示せよ．

【２】　定数でない微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$k\text{，}x$について

${\displaystyle {\int }_{k-x}^{k+x}}f(t)dt={\displaystyle \frac{x}{2}}\{f(k-x)+2f(k)+f(k+x)\}$

を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$を定数とし，$g(x)=f(k+x)+f(k-x)$とおく．このとき，$g(x)$を$f(k)\text{，}x\text{，}{g}^{\prime }(x)$を用いて表せ．

(2)　$x\ne 0$のとき${\left({\displaystyle \frac{g(x)}{x}}\right)}^{\prime }$を$f(k)\text{，}x$を用いて表せ．

(3)　$g^{\prime }(x)$は定数関数であることを示せ．

(4)　$f^{\prime }(k+x)=f^{\prime }(k-x)$であることを示せ．

(5)　$f(x)$は$x$の$1$次関数であることを示せ．

【３】　実数を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は，$A^3-3A+2E=O\text{，}A\ne -2E$かつ$a+d\ne 2$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O$は零行列$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．

(2)　$a+d\text{，}ad-bc$の値を求めよ．

(3)　$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n\text{，}{q}_n$を等式${(A^{-1})}^n=p_{n}A+q_{n}E$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{4x^3}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x>1$のとき，$f(x)>1$となることを示せ．

(2)　$x>1$のとき，関数$g(x)={\displaystyle \frac{f(x)-1}{x-1}}$は増加関数であることを示せ．

(3)　$\underset{x\to 1+0}{\lim }g(x)\text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)$の値を求めよ．

(4)　数列$\{x_n\}$を漸化式

$x_1=2\text{，}{x}_{n+1}=f(x_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1$を示せ．

【３】　実数を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は，$A^3-3A+2E=O\text{，}A\ne -2E$かつ$a+d\ne 2$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O$は零行列$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．

(2)　$a+d\text{，}ad-bc$の値を求めよ．

(3)　$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n\text{，}{q}_n$を等式${(A^{-1})}^n=p_{n}A+q_{n}E$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{r}_n$の和を求めよ．