2013　金沢大学　前期　人間社会学域MathJax

【１】　座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(\sqrt{3},0)\text{，}\mathrm{Q}(\cos \theta ,1-\sin \theta )$がある．次の問いに答えよ．

(1)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$を$\theta$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{7\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を用いて，$\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq \pi$における${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．

【２】　座標平面上の点$\mathrm{P}$は，硬貨を$1$回投げて表が出れば$x$軸の正の方向に$2\text{，}$裏が出れば$y$軸の正の方向に$1$だけ進むことにする．最初，$\mathrm{P}$は原点にある．硬貨を$5$回投げた後の$\mathrm{P}$の到達点について，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の到達点が$(10,0)$となる確率を求めよ．また，$(6,2)$となる確率を求めよ．

(2)　$2$点$(10,0)\text{，}(6,2)$を通る直線$l$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{P}$の到達点はすべて直線$l$上にあることを示せ．

(3)　(2)で求めた直線$l$と原点との距離を求めよ．

(4)　$\mathrm{P}$の到達点と原点との距離$d$が，$2\sqrt{5}\leqq d\leqq 5$となる確率を求めよ．

【３】　実数$x$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)=|x^2-6x+5|-x^2+4x+5$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$0\leqq x\leqq 6$において，$f(x)$は$x=a$で最大値$f(a)$を，$x=b$で最小値$f(b)$をとる．$a\text{，}b$および$f(a)\text{，}f(b)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a\text{，}b$について，定積分${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx$を求めよ．