2013　福井大学　前期MathJax

【１】　$2$つのさいころを同時に投げることをくり返し，投げるのを止めた時点までの出た目の総和が得点となるゲームを行う．さいころは何回投げてもよいし，途中で投げるのを止めてもよいが，$2$つのさいころで同じ目が出た場合は得点は$0$点となり，以降さいころを投げることもできなくなる．例えば，右の得点表において，$\mathrm{A}$君は$2$回で投げるのを止めて$18$点，$\mathrm{B}$君は$3$回目で「$6$と$6$」を出してしまったので$0$点となる．$\mathrm{C}$君は$1$回さいころを投げたところである．

　以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つのさいころを$1$回だけ投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．

(2)　$\mathrm{C}$君がもう$1$回サイコロを投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．

(3)　これまでに出した目の合計が$x$である人がいる．この人がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの得点の期待値$y$を，$x$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた$y$について，$y<x$となる$x$の範囲を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$の各辺の長さをそれぞれ$\mathrm{AB}=\sqrt{7}\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{5}\text{，}\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{OC}=\sqrt{7}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が次の関係式を満たしている．

$a_1=-1\text{，}5a_{n+1}-4a_n=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$として計算してよい．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$n\geqq 9$のとき，$S_n>0$となることを示せ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,\sin t)$をとる．ここで$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標が$(\sin 2t\sin t,\sin 2t\cos t)$で表されることを証明せよ．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の描く曲線を$C$と表す．曲線$C$上で，$y$座標が最大となる点の座標を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【５】　$x>0$の範囲で関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^2}(|t^2-2xt|+xt)dt$

により定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$0<x\leqq 1$のとき，$f(x)$を求めよ．

(2)　$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y=4x+k$が異なる$2$点で交わるように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

【１】　関数$f(x)$を$f(x)=x\sin x$とおく．また，曲線$y=f(x)$上の点$(\alpha ,f(\alpha ))$における接線の方程式を$y=g(x)$とおく．$\alpha >0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$g(x)$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　直線$y=g(x)$が原点を通るような最小の$\alpha$を${\alpha }_1$とし，$\alpha ={\alpha }_1$のときの$g(x)$を$h(x)$とおく．${\alpha }_1$の値と$h(x)$を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq {\alpha }_1$において$h(x)\geqq f(x)$であることを示せ．

(4)　$0\leqq x\leqq {\alpha }_1$において直線$y=h(x)$と曲線$y=f(x)$で囲まれてできる図形の面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$をみたす四面体$\mathrm{OABC}$がある．その体積を$V\text{，}\mathrm{AB}=m$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を$m$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CG}}$の値を求めよ．

(3)　$V$を$m$を用いて表せ．

(4)　$V$が最大となる$m$の値を求めよ．

【３】　さいころの目によって$x$軸上を移動する点$\mathrm{Q}$を考える．さいころを$1$回投げて$5$または$6$の目が出れば$\mathrm{Q}$は$x$軸上を正の向きに$1$だけ移動し，その他の目が出れば$\mathrm{Q}$は$x$軸上を負の向きに$1$だけ移動する．最初，$\mathrm{Q}$は$x$軸上の原点にあり，さいころを$n$回投げて$\mathrm{Q}$が$n$回移動したときの$\mathrm{Q}$の$x$座標を$X_n$とおく．整数$k$に対し，$X_n=k$となる確率を$p(n,k)$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p(3,3)\text{，}p(3,2)\text{，}p(3,1)\text{，}p(3,0)$の値を求めよ．

(2)　$X_3$の期待値$E$を求めよ．

(3)　$p(n,0)$を$n$を用いて表せ，

【４】　数列$\{r_n\}$が次の関係式を満たしている．

$r_1=0\text{，}{r}_{n+1}={\displaystyle \frac{r_n+2}{2r_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$r_{n+1}-\alpha =\beta {\displaystyle \frac{r_n-\alpha }{2r_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす定数$\alpha \text{，}\beta$をすべて求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{r_{n+1}-p}{r_{n+1}-q}}=k{\displaystyle \frac{r_n-p}{r_n-q}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす定数$p\text{，}q\text{，}k$の組$(p,q,k)$を$1$つ求めよ．ただし，$p\ne q$とする．

(3)　数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n$を求めよ．

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$の各辺の長さをそれぞれ$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{5}\text{，}\mathrm{OC}=\sqrt{7}\text{，}\mathrm{AB}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{5}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表し，さらにその大きさを求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が次の関係式を満たしている．

$a_1=-1\text{，}5a_{n+1}-4a_n=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．ただし，必要であれば${\log }_{10}2=0.3010$として計算してよい．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$S_n>0$となる最小の$n$を求めよ．

【３】[1]　$m\text{，}n$を自然数とするとき，次の不定積分を計算せよ．

${\displaystyle \int }\cos mx\cos nxdx$

[2]　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,\sin t)$をとる．ここで$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲を動くときに$\mathrm{R}$の描く曲線と，直線$y=x$により囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　双曲線$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{16}}-{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$上に点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{4}{\cos \theta }},3\tan \theta )\text{，}\mathrm{B}(4,0)$をとる．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\mathrm{A}$における$C$の接線と$\mathrm{B}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{D}$とし，$C$の焦点のうち$x$座標が正であるものを$\mathrm{F}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=m$とおく．$\tan \angle \mathrm{DFB}$を$m$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{DF}$は$\angle \mathrm{AFB}$を$2$等分することを証明せよ．