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2013-10401-0101
2013 山梨大学 前期
教育人間科,生命環境(生命工除く)学部
易□ 並□ 難□
【1】
(1) |x- 2|+ |x+ 3|< 6 を満たす実数 x の値の範囲を求めよ.
2013-10401-0102
(2) a1 =1 ,a 2=2 , an +2- 2⁢a n+1 +an =1 で定められる数列 { an } の一般項 a n を求めよ.
2013-10401-0103
(3) 毎年 1 月の人口調査で,人口が前年の 98⁢ % に減少していく都市がある.この都市の人口が,初めて今年の 70⁢ % 以下になるのは何年後の調査のときか.ただし, log10 ⁡2=0.3010 , log10 ⁡7=0.8451 として,答えは整数で求めよ.
2013-10401-0104
(4) 直線 y =2⁢x と放物線 y =x2 +4⁢x +cos⁡2 ⁢θ+ 1 2 ( 0≦ θ≦2⁢ π ) がある.放物線に直線が接するときの θ の値を求めよ.
2013-10401-0105
【2】 関数 f ⁡(x )= x3- 3⁢a2 ⁢x- 2⁢a2 を考える.ただし, a>1 とする.
(1) 関数 f ⁡(x ) の極大値と極小値を求めよ.
(2) 定数 k ( k<0 ) に対して,方程式 f ⁡(x )=k が相異なる 2 つだけの実数解 x1 ,x2 をもつとする.このとき, k ,x 1 ,x2 の値をそれぞれ求めよ.ただし, x1 <x2 とする.
(3) x1 , x2 を(2)で求めた値とするとき, P ( x1,f ⁡( x1) ), Q ( x2,f ⁡( x2) ), 原点の 3 点を通る放物線を求めよ.
(4) k が(2)で求めた値をとるとき,(3)で求めた放物線と直線 y =k で囲まれた図形の面積を求めよ.
2013-10401-0106
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
【3】 s ,t , u を正の実数とする.点 O を内部に含む ▵ ABC について, OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とすると,
s⁢a →+t ⁢b→ +u⁢ c→= 0→
が成り立っている.直線 CO と線分 AB の交点を D とし, ▵BCO の面積を SA , ▵CAO の面積を SB , ▵ABO の面積を S C とする.
(1) 面積の比 SA :SB は,線分の長さの比 BD :AD に等しいことを示せ.
(2) 比 BD :AD を s , t ,u を用いて表せ.
(3) 比 S A: SB :SC を s , t ,u を用いて表せ.
2013-10401-0107
工学部,生命環境(生命工学科)学部
(1) limx →0 x⁢sin⁡ x1- cos⁡x を求めよ.
2013-10401-0108
(2) 等式 ( x+y⁢ i) 2= 1+3 ⁢i2 を満たす実数 x , y を求めよ.ただし, i は虚数単位を表す.
2013-10401-0109
数学 入試問題さんの解答(PDF)へ
(3) すべての実数 x に対し, x3 +2⁢x 2+3⁢ x+4= a⁢ (x- 10) 3+b⁢ (x -10) 2+ c⁢( x-10) +d となるような定数 a , b ,c , d を求めよ.
2013-10401-0110
【2】 xy 平面において,点 ( -2,0 ) を中心とする半径 1 の円を C1 , 点 ( 2,0 ) を中心とする半径 1 の円を C 2 とする.直線 y =a⁢x +b を l とし,この直線 l は,円 C 1 と円 C 2 の両方と共有点をもつものとする.
(1) b=0 のとき, a のとりうる値の範囲を求めよ.また, b=0 で a が求めた範囲を動くとき,直線 l の通る領域を図示せよ.
(2) a≧0 のとき, a ,b の満たす条件を求めよ.また,この条件を満たす点 ( a,b ) の領域を a b 平面上に図示せよ.
2013-10401-0111
【3】 曲線 C は媒介変数 t ( 0≦t≦ π 2 ) によって, x=cos ⁡t⁢ cos⁡ t 2 ,y= cos⁡t ⁢sin⁡ t2 と表される.
(1) 0<t < π2 において, d xdt および dyd t を求めよ.
(2) x ,y の t に関する増減を調べ,曲線 C の概形をかけ.
(3) 曲線 C と x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
2013-10401-0112
【4】 関数 f ⁡(x ) を次のとおりに定める.
f ⁡(x )={ e- 11- x2 ( |x| <1 のとき) 0 (|x |≧1 のとき)
(1) limx →1- 0⁡ f ⁡(x ) ,lim x→- 1+0 f ⁡(x ) を求めよ.
(2) K= ∫-1 1f ⁡(t )⁢d t ,F⁡ (x) =1 K⁢ ∫ -1x f ⁡(t )⁢d t とする.このとき, F⁡( 0) を求めよ.
(3) 関数 y =F⁡( x) の増減を調べ,グラフの概形をかけ.
(4) 関数 y =F⁡( x)- F⁡( 0) が奇関数であることを示せ.
(5) 定積分 ∫-1 2F⁡ (x) ⁢dx を求めよ.
2013-10401-0113
【5】 任意の 2 次の正方行列 M =( pq rs ) に対し, D⁡( M)= p⁢s+ 3⁢q⁢ r ,T⁡ (M) =p+s とする.また, A=( a b cd ) ,B =( db ca ) とし, D⁡( A⁢B) =D⁡( A)⁢ D⁡( B) が成り立つものとする.
(1) b⁢c =0 が成り立つか,または A の逆行列が存在しないことを示せ.
(2) 自然数 n に対し, T⁡( An ) を求めよ.