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2013 山梨大学 前期

教育人間科,生命環境(生命工除く)学部

易□ 並□ 難□

【1】

(1)  |x- 2|+ |x+ 3|< 6 を満たす実数 x の値の範囲を求めよ.

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教育人間科,生命環境(生命工除く)学部

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【1】

(2)  a1 =1 a 2=2 an +2- 2a n+1 +an =1 で定められる数列 { an } の一般項 a n を求めよ.

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教育人間科,生命環境(生命工除く)学部

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【1】

(3) 毎年 1 月の人口調査で,人口が前年の 98 % に減少していく都市がある.この都市の人口が,初めて今年の 70 % 以下になるのは何年後の調査のときか.ただし, log10 2=0.3010 log10 7=0.8451 として,答えは整数で求めよ.

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教育人間科,生命環境(生命工除く)学部

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【1】

(4) 直線 y =2x と放物線 y =x2 +4x +cos2 θ+ 1 2 0 θ2 π がある.放物線に直線が接するときの θ の値を求めよ.

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教育人間科,生命環境(生命工除く)学部

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【2】 関数 f (x )= x3- 3a2 x- 2a2 を考える.ただし, a>1 とする.

(1) 関数 f (x ) の極大値と極小値を求めよ.

(2) 定数 k k<0 に対して,方程式 f (x )=k が相異なる 2 つだけの実数解 x1 x2 をもつとする.このとき, k x 1 x2 の値をそれぞれ求めよ.ただし, x1 <x2 とする.

(3)  x1 x2 を(2)で求めた値とするとき, P ( x1,f ( x1) ) Q ( x2,f ( x2) ) 原点の 3 点を通る放物線を求めよ.

(4)  k が(2)で求めた値をとるとき,(3)で求めた放物線と直線 y =k で囲まれた図形の面積を求めよ.

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教育人間科,生命環境(生命工除く)学部

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【3】  s t u を正の実数とする.点 O を内部に含む ABC について, OA =a OB =b OC =c とすると,

sa +t b +u c= 0

が成り立っている.直線 CO と線分 AB の交点を D とし, BCO の面積を SA CAO の面積を SB ABO の面積を S C とする.

(1) 面積の比 SA :SB は,線分の長さの比 BD :AD に等しいことを示せ.

(2) 比 BD :AD s t u を用いて表せ.

(3) 比 S A: SB :SC s t u を用いて表せ.

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工学部,生命環境(生命工学科)学部

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【1】

(1)  limx 0 xsin x1- cosx を求めよ.

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工学部,生命環境(生命工学科)学部

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【1】

(2) 等式 ( x+y i) 2= 1+3 i2 を満たす実数 x y を求めよ.ただし, i は虚数単位を表す.

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工学部,生命環境(生命工学科)学部

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【1】

(3) すべての実数 x に対し, x3 +2x 2+3 x+4= a (x- 10) 3+b (x -10) 2+ c( x-10) +d となるような定数 a b c d を求めよ.

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工学部,生命環境(生命工学科)学部

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【2】  xy 平面において,点 ( -2,0 ) を中心とする半径 1 の円を C1 ( 2,0 ) を中心とする半径 1 の円を C 2 とする.直線 y =ax +b l とし,この直線 l は,円 C 1 と円 C 2 の両方と共有点をもつものとする.

(1)  b=0 のとき, a のとりうる値の範囲を求めよ.また, b=0 a が求めた範囲を動くとき,直線 l の通る領域を図示せよ.

(2)  a0 のとき, a b の満たす条件を求めよ.また,この条件を満たす点 ( a,b ) の領域を a b 平面上に図示せよ.

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工学部,生命環境(生命工学科)学部

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【3】 曲線 C は媒介変数 t ( 0t π 2 ) によって, x=cos t cos t 2 y= cost sin t2 と表される.

(1)  0<t < π2 において, d xdt および dyd t を求めよ.

(2)  x y t に関する増減を調べ,曲線 C の概形をかけ.

(3) 曲線 C x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

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工学部,生命環境(生命工学科)学部

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【4】 関数 f (x ) を次のとおりに定める.

f (x )={ e- 11- x2 |x| <1 のとき) 0 |x |1 のとき)

(1)  limx 1- 0 f (x ) lim x- 1+0 f (x ) を求めよ.

(2)  K= -1 1f (t )d t F (x) =1 K -1x f (t )d t とする.このとき, F( 0) を求めよ.

(3) 関数 y =F( x) の増減を調べ,グラフの概形をかけ.

(4) 関数 y =F( x)- F( 0) が奇関数であることを示せ.

(5) 定積分 -1 2F (x) dx を求めよ.

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工学部,生命環境(生命工学科)学部

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【5】 任意の 2 次の正方行列 M =( pq rs ) に対し, D( M)= ps+ 3q r T (M) =p+s とする.また, A=( a b cd ) B =( db ca ) とし, D( AB) =D( A) D( B) が成り立つものとする.

(1)  bc =0 が成り立つか,または A の逆行列が存在しないことを示せ.

(2) 自然数 n に対し, T( An ) を求めよ.

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