2013　山梨大学　後期MathJax

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ケ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　$x>0$において定義された関数$f(x)=x^{\frac{1}{x}}$について，最大値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ケ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -18& 13\end{array}\right)$とする．定数$a\text{，}b$について$P_1=\left(\begin{array}{c}1\\ a\end{array}\right)\text{，}{P}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)$とおく．定数$k$について$A{P}_1=k{P}_1$および$A{P}_2=P_1+k{P}_2$が成り立つならば，$(a,b,k)=\boxed{\text{イ}}$である．このとき$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ a& b\end{array}\right)$とおくと$P^{-1}AP=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ケ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　連立不等式$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2\\ y\leqq x+{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$の表す領域を$A$とし，不等式$x^2+{(y-1)}^2\leqq r^2$の表す領域を$B_r$とする．このとき$B_r\subset A$となるような実数$r$の最大値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ケ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　$4$次式$x^4-2x^3+x^2-1$を係数が整数であるような$2$次式$2$個の積に因数分解すると，$x^4-2x^3+x^2-1=\boxed{\text{オ}}$となる．方程式$x^4-2x^3+x^2-1=0$の$4$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{，}\delta$とすると，${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2+{\delta }^2=\boxed{\text{カ}}$であり，${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3+{\delta }^3=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ケ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(5)　$f(x)=\sin x+\cos x$とする．各自然数$n$に対して関数$g_n(x)$は$x$の$n$次式で表され，

$g_n(0)=f(0)\text{，}{g_n}^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)\text{，}{g_n}^{″}(0)=f^{″}(0)\text{，}\cdots \text{，}{g_n}^{(n)}(0)=f^{(n)}(0)$

を満たすものとする．このとき$g_3(x)=\boxed{\text{ク}}$であり，$|g_{n+1}(1)-g_n(1)|<{\displaystyle \frac{1}{2013}}$となる最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　大，中，小$3$個のさいころを同時に振り，出た目の数をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．

【３】　$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$から放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$へ$2$本の接線がひけるとし，接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

【４】　次の問いに答えよ．