2013　山梨大学　推薦工（情報メカトロニクス工学科）学部小論文MathJax

$a_1=1\text{，}{a}_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_3={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{a}_4={\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{a}_5={\displaystyle \frac{1}{16}}\text{，}\cdots$

問題１　$n$番目の項を，$n$を用いて示して下さい．

問題２　$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+\cdots$のように，数列の和を求めるとします．この計算結果はある値に近づきますが，その値を計算で求めて下さい．（計算式だけではなく，どのように考えて計算を行ったかを説明しながら求めて下さい．）

問題３　たとえば，$b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{b}_2={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{b}_3={\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{b}_4={\displaystyle \frac{1}{16}}\text{，}\cdots$のような数列があった場合，次の図のように，一辺が$1$の正方形を埋めていくことを考えると，その数列の和は$1$に近づくことがわかります．このように数列の和を，図を用いて求めることができる場合があります．

与えられた数列の和$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+\cdots$も，図を用いて求めることができます．図を描いて，求め方を詳しく説明し，和が近づく値を求めて下さい．