2013　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$は次の条件を満たす．

${\mathrm{AC}}^2=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CB}$

このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}}$の値を求めよ．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}}$とおく．自然数$n$について，

${\alpha }^{n+1}={\alpha }^n+{\alpha }^{n-1}$

が成り立つことを証明せよ．

【２】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$1$である円$C$の円周上に，点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )$をとる．ただし，$0<\theta <\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の外心$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が円$C$の円周上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(-1,2)\text{，}\mathrm{B}(2,1)\text{，}\mathrm{P}(u,v)$がある．点$\mathrm{P}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cos \alpha +\overrightarrow{\mathrm{OB}}\sin \beta \text{（ただし，}0\leqq \alpha \leqq \pi \text{，}0\leqq \beta \leqq \pi \text{）}$

を満たすとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示せよ．

【４】　放物線$y={(x-1)}^2+q\text{（}q>0\text{）}$のグラフに，原点$\mathrm{O}$から引いた$2$本の接線が互いに垂直に交わっているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$q$の値を求めよ．

(2)　$2$本の接線と放物線とで囲まれる図形の面積を$S_1$とする．また，$2$本の接線と放物線との接点を点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S_2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の値を求めよ．

【２】

必要があれば上の解法を参考にして，自然数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$が

$a_1\leqq a_2\leqq a_3\text{，}{a}_1+a_2+a_3=a_1{a}_2{a}_3$

を満たすとき，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}8& -3\\ 6& -1\end{array}\right)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$のとき，$P^{-1}AP$を求めよ．

(2)　自然数$n$について，$A^n$を求めよ．

【２】　$fx)=x\sin x$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)dx$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$f^{\prime }(x)<{\displaystyle \frac{5}{2}}$を示せ．