2013　信州大学　前期　経済，理，医MathJax

【１】(1)　数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n=1+{(-1)}^n$で与えられているとき，数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項が$b_n=n+{(-1)}^n$で与えられているとき，数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．

【２】(1)　放物線$C:y=x^2+x-1$と直線$l:y=2x+1$の交点の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた交点の$x$座標の大きい方を$x_0$とする．$a>x_0$とする．$C$と$l$で囲まれた領域の面積を$S_1\text{，}C$と$l$および直線$x=a$で囲まれた領域の面積を$S_2\text{，}C$と$l$および直線$x=-a$で囲まれた領域の面積を$S_3$とする．$S_1=S_2+S_3$となるときの$a$の値を求めよ．

【３】(1)　式

$1={\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+{\displaystyle \frac{1}{a_3}}$

をみたす自然数の組$(a_1,a_2,a_3)$で， $1\leqq a_1\leqq a_2\leqq a_3$となるものをすべて求めよ．

(2)　$r$を正の有理数とする．式

$r={\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+{\displaystyle \frac{1}{a_3}}$

をみたす自然数の組$(a_1,a_2,a_3)$で，$1\leqq a_1\leqq a_2\leqq a_3$となるものは有限個しかないことを証明せよ．ただし，そのような組が存在しない場合は$0$個とし，有限個であるとみなす．

【４】(1)　$x$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$をみたしながら変わるとき，$\sin x+\cos x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$x$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$をみたしながら変わるとき，$\sin 2x-\sin x-\cos x$の最大値と最小値を求めよ．

【５】　実数$p\text{，}q$と自然数$n$に対して

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{5}{2}}& 2\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$

とおく．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$かつ$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$とする．このとき$p$と$q$がみたす条件を求めよ．

(2)　$(p,q)\ne (0,0)$とする．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}$を求めよ．

【６】　$a$を定数とする．放物線$y=a-x^2$の接線のうち，原点との距離が最小となるものの方程式を求めよ．またそのときの距離を求めよ．

【７】　曲線$C:y=e^x$について以下の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}(p,e^p)$における接線$l$および法線$n$の方程式を求めよ．

(2)　$p>0$とする．$C$と$l$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S(p)$とする．また$C$と$n$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$T(p)$とする．このとき極限$\underset{p\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{pT(p)}{S(p)}}$を求めよ．