2013　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　

(1)　不等式${\log }_3(x-2)+2{\log }_9(x-4)<1$を解け．

注　原稿が不鮮明なため，対数の底が読み取れない

【１】　

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の座標軸上に，$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,\sqrt{6},0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$がある．線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{BA}$を$t:1-t$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．この$4$点により定まる長方形$\mathrm{PQRS}$の面積$M(t)$が最大となるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$を求めよ．

【１】　

(3)　$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の積が$10$の倍数である確率を求めよ．

【２】　$0\leqq t\leqq 1$とする．関数$f(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|\sqrt{x}-t|dx+t^2$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$を$t$の多項式で表せ．

(2)　$f(t)$の最小値を求めよ．

【３】　$0<t<1$とする．$xy$平面上の曲線$C_1:y=t\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と曲線$C_2:y=2\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$t$を用いて表せ．

(2)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$と$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．また，$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$と，$x$軸上の$2$点$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)\text{，}(\pi ,0)$を結ぶ線分で囲まれた図形の面積を$T(t)$とする．このとき，$S(t)$と$T(t)$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{t\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{t^{2}T(t)}{S(t)}}$を求めよ．

【４】　$\theta$は実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$k$に対して$A^k=\left(\begin{array}{cc}\cos k\theta & \sin k\theta \\ -\sin k\theta & \cos k\theta \end{array}\right)$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．

(2)　$n$は$2$以上の自然数とし，$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$とする．$B=A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$AB=B+E-A$が成り立つことを示せ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(3)　(2)の条件のもとで，$B=-E$が成り立つことを示せ．