2013　信州大学　後期　理学部数IAIIBMathJax

【１】　$a$を定数とする．次の$x\text{，}y\text{，}z$に関する連立方程式

$\{\begin{array}{l}3x-y+z=2a\\ x+3y+2z=-11a\\ x^2+y^2-z=0\end{array}$

について以下の問いに答えよ．

(1)　この方程式がただ$1$つの解をもつための$a$の値を求め，そのときの解を求めよ．

(2)　この方程式が$x>-1$の範囲に解をもつための$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　赤，白，青の球が同じ個数ずつ入っている袋がある．この袋から球を$1$つ取り出し，色を確認したら元に戻すことを繰り返す．今までの取り出したことのない色を取り出したときに$1$点もらえるものとし，そうでないときには点はもらえないとする．最初の持ち点は$0$点とする．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$としてよい．

(1)　$3$回目終了時に$3$点を獲得している確率を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$とする．$n$回繰り返したときの得点が$2$点以下である確率が${\displaystyle \frac{1}{100}}$未満である最小の$n$を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$▵\mathrm{ABC}$は正三角形であり，その一辺の長さは$5$である．また，$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OC}=3$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

以下$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{b}$の長さおよび内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．

(2)　頂点$\mathrm{O}$を通り，$▵\mathrm{ABC}$を含む平面に垂直である直線と，この平面との交点を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{K}$とおく．比$\mathrm{AK}:\mathrm{KB}$を求め，また$\mathrm{K}$は$\mathrm{AB}$の外分点または内分点のどちらであるかを答えよ．

【４】(1)　$0\leqq x<2\pi$の範囲で，不等式

$\cos x\sin x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x\geqq \sqrt{3}$

を解け．

【４】(2)　放物線$y=-x^2+x$と$x$軸によって囲まれる領域の面積を，直線$y=m(x-1)$が$2:1$に分けるという．そのような$m$を求めよ．