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2013-10421-0601
2013 信州大学 後期 繊維学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の(1)〜(3)の問いに答えよ.
(1) 0≦x≦ 2 ⁢πn ( n は自然数)の範囲で定義される 2 つの関数 y =sin⁡( 2⁢n⁢ x) ,y= -sin⁡( n⁢x ) で囲まれる領域 D n をグラフに描け.
(2) 領域 D n の面積 a n を求めよ.
(3) Sn= an- an+ 1 とするとき, S= ∑k =1∞ Sk の値を求めよ.
2013-10421-0602
【2】 放物線 y =2-x 2 と直線 y =-x と直線 y =x によって囲まれる領域のひとつ(右図の斜線部分)を S とする.
(1) S を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.
(2) S を直線 y =-x のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.
2013-10421-0603
【3】 次の(1)〜(4)の問いに答えよ.
(1) x>0 のとき,不等式 sin ⁡x<x が成立することを示せ.
(2) x>0 のとき,不等式 1 - x22 <cos⁡ x が成立することを示せ.
(3) (1)または(2)の結果を利用して,円周率が 3.1 より大きいことを示せ.
(4) k を自然数とするとき, sin⁡ ( ∑k =1∞ 1k3 +3⁢ k2+ 2⁢k )< 1 4 となることを示せ.
2013-10421-0604
【4】 次の(1)〜(3)の問いに答えよ.
(1) x の整式 p ⁡(x ) を ( x+3) ⁢(2 ⁢x-1 )⁢ (x- 3) で割った余りが 4 ⁢x2 +8⁢x -10 となった. p⁡( x) を ( x+3 ) で割った余りを求めよ.
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(2) 3 点 A , B , C を頂点とし, 3 辺の長さ AB =c ,BC= a ,CA =b の三角形に内接する円の直径 d が
d= 4⁢S a+b+ c
となることを示せ.ただし, S は三角形 ABC の面積を表すものとする.
2013-10421-0606
【4】(3) 不定積分 ∫ cos 3⁡x sin2⁡ x⁢ dx を求めよ.