2013　岐阜大学　後期MathJax

【１】　$a$を実数とする．連続関数$f(x)$は$f(x)=2x^3+a{x}^2-{\displaystyle {\int }_{-2}^1}xf(t)dt$を満たすとする．以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　長方形$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．$\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{CQD}=60\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{CPD}=\angle \mathrm{AQB}=30\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=\sqrt{3}$のとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}=x\text{，}\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおき，$\sin \theta$と$\cos \theta$を$x$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{PC}$の長さを(1)の$x$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(4)　四角形$\mathrm{BPDQ}$の面積を求めよ．

【３】　$m$を正の整数とする．$m$個の電球と$1$個のさいころがある．最初の状態ではすべての電球が消えている．さいころを投げるたびに，出た目に応じて次の操作をする．

・奇数の目が出たときは消えている電球のどれか$1$つを点灯する．ただし，すでに$m$個すべての電球が点灯している場合は何もしない．

・偶数の目が出たときは何もしない．

なお，一度点灯した電球は消えることはない．以下の問に答えよ．

(1)　$m\geqq 4$とする．最初の状態からさいころを$5$回投げたとき，点灯している電球の個数が$3$以下である確率を求めよ．

(2)　最初の状態からさいころを$(2m-1)$回投げたとき，$m$個すべての電球が点灯している確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを証明せよ．

(3)　$m$を偶数とする．最初の状態からさいころを$(m+1)$回投げたとき．点灯している電球の個数が奇数である確率を求めよ．

【４】　$a$を$0<a<1$を満たす定数とする．$xy$平面上に円$C\text{：}{x}^2+y^2=a^2$がある．点$\mathrm{P}(0,1)$を通る直線$l$が，円$C$と第$1$象限の点$\mathrm{Q}$で接している．以下の問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．また，接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　直線$l$と円$C$と$y$軸によって囲まれた部分（右図の斜線部分）を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(a)$を求めよ．

(3)　$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，(2)で求めた体積$V(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【５】　関数$f(x)$を，$f(x)=2x{e}^{-x}$で定める．また，次のように数列$\{a_n\}$を定める．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表すものとする．必要であれば$e>2$であることを用いてもよい．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，増減表をかけ．また，そのグラフの概形をかけ．ただし，$\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を用いてもよい．

(3)　すべての正の整数$n$に対して，$a_{n+1}\leqq a_n\leqq 1$を示せ．

(4)　すべての正の整数$n$に対して，$\log 2\leqq a_n$を示せ．ただし，$\log 2$は$2$の自然対数である．