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2013-10461-0101
2013 静岡大学 前期
教育,理(物理,化学,生物科,地球科学科),工,情報,農学部
配点25%
易□ 並□ 難□
【1】 不等式 ( x+y) ⁢( x-y+ 4)≧ 0 の表す領域を A とし,不等式 y ≧x2 +4⁢x の表す領域を B とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 領域 A を図示せよ.
(2) 領域 A ∩B の面積を求めよ.
(3) 点 ( x,y ) が領域 A ∩B を動くとき, 4⁢x -y の最大値と最小値を求めよ.また,それらの値をとるときの x と y の値もそれぞれ求めよ.
2013-10461-0102
教育,理(生物科,地球科学科),農学部
【2】 ▵OAB において,辺 OA を 1 :2 に内分する点を P , 辺 OB の長さを 1 , 内積 OA→⋅ OB→ =k とする.このとき,辺 OB 上の点 Q に関して,次の問いに答えよ.
(1) OQ→ =s⁢ OB→ ( 0≦s≦ 1 ) のとき, PQ→ を OA→ , OB→ と s を用いて表せ.
(2) OQ→ =s⁢ OB→ ( 0≦s≦ 1 ) かつ | PQ→ |= 1 3⁢ | AB→ | のとき,等式 9 ⁢s2 -6⁢k ⁢s+2 ⁢k-1 =0 が成り立つことを示せ.
(3) | PQ→ |= 1 3⁢ | AB→ | を満たす点 Q が辺 OB 上にただ 1 つ存在するような k の値の範囲を求めよ.ただし,点 Q が辺 OB 上に存在するとは, Q が O または B と一致する場合を含むものとする.
2013-10461-0103
理(数学科)学部【1】の類題
【3】 半径 OA =OB=1 , 中心角 ∠ AOB=2⁢ θ( 0<θ< π2 ) の扇形 OAB に内接し,その 2 辺が弦 AB と平行であるような長方形 PQRS について考える.頂点 P と Q は弧 AB 上に,残りの 2 頂点はそれぞれ辺 OA と OB 上にあるとして, ∠OPQ= 2⁢α とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 長方形 PQRS の面積を, α と θ の三角比を用いて表せ.
(2) 長方形 PQRS の面積が最大になるときの α を θ で表せ.
(3) θ= π 3 のとき,長方形 PQRS の面積の最大値を求めよ.
2013-10461-0104
理(物理,化学科),工,情報学部は【2】
理(数学科)学部【2】の類題
【4】 次の問いに答えよ.
(1) n を自然数とするとき,ある自然数 a と b を用いて,
( 2+3 )n =a+ 3⁢ b , (2 -3 )n =a-b ⁢3
とかけることを,数学的帰納法を使って示せ.
(2) (1)の a と b について, a2 -3⁢ b2= 1 が成り立つことを示せ.
(3) n を自然数とするとき,ある自然数 m を用いて,
( 2+3 )n =m +m- 1 , (2- 3) n= m-m -1
とかけることを示せ.
2013-10461-0105
理(物理,化学科),工,情報学部
【3】 a と b を実数とする. 2 次正方行列
X=( a -b ba )
の逆行列が存在するとし, A を等式
A⁢X= (- 2⁢a -2⁢b -2 ⁢b2 ⁢a)
を満たす 2 次正方行列とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) X-1 ⁢A⁢ X を求めよ.
(2) n が正の偶数のとき, An を求めよ.
(3) n が正の偶数のとき, ( A-1 ) n を求めよ.
2013-10461-0106
【4】 関数
c⁡( x)= 1 2⁢ ( e2⁢ x+ e-2 ⁢x ), s⁡( x)= 1 2⁢ ( e2⁢x -e -2⁢ x) ,t⁡ (x) = s⁡( x) c⁡( x)
に対して,次の問いに答えよ.
(1) { c⁡( x) }2 -{ s⁡( x) }2 を計算せよ.
(2) 導関数 c ′⁡( x) ,s ′⁡( x) ,t′ ⁡(x ) を,それぞれ c ⁡( x) または s ⁡(x ) を用いて表せ.
(3) t⁡( log⁡2 ) と t ⁡( log⁡3 ) の値を求めよ.
(4) 定積分 ∫log⁡ 2log ⁡3 t⁡ (x) ⁢dx と ∫ log⁡2 log⁡ 3 { t⁡( x) }2 ⁢dx を求めよ.
2013-10461-0107
理(数学科)学部
教育,理(生物科,地球科学科),農学部【3】の類題
【1】 半径 OA =OB=1 , 中心角 ∠ AOB=2⁢ θ( 0<θ< π2 ) の扇形 OAB がある.長方形 PQRS は,扇形 OAB に内接し,その 2 辺が弦 AB と平行であるような長方形の中で面積が最大のものである.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 頂点 P と Q が弧 AB 上にあるとして, ∠POQ= 2⁢α とするとき, α を θ で表せ.
(2) 長方形 PQRS の面積を θ の三角比を用いて表せ.
(3) 長方形 PQRS が正方形であるときの θ の値を求めよ.
2013-10461-0108
教育,理(生物科,地球科学科),農学部【4】,理(物理,化学科),工,情報学部【2】の類題
【2】 n を自然数とするとき, ( 2-3 ) n は m-m -1 ( m は自然数)の形で表されることを示せ,
2013-10461-0109
【3】 関数 f ⁡(x )= e2⁢ x-e -2⁢ x e2⁢ x+ e-2⁢ x に対して,曲線 y =f⁡( x) を C とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 極限値 limx→ ∞f⁡ (x ) と limx→ -∞ f⁡( x) , および, f″⁡ (x) =0 を満たす x の値を求めよ.
(2) 曲線 C の概形をかけ.
(3) 曲線 C について,傾きが 2 の接線 l の方程式を求めよ.
(4) 曲線 C , (3)で求めた接線 l , 直線 x =log⁡ 2 によって囲まれた図形 D の面積を求めよ.
(5) (4)の図形 D を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.
2013-10461-0110
【4】 n を自然数とする. α を実数とし, A=( α +11 -1 α-1 ) とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) ( A-α⁢ E) 2=O であることを示せ.ただし, E は 2 次単位行列, O は 2 次零行列とする.
(2) An を求めよ.
(3) 連立 1 次方程式 An⁢ ( x y )=( x y ) の解 x , y をすべて求めよ.