2013 静岡大学 前期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2013 静岡大学 前期

教育,理(物理,化学,生物科,地球科学科),工,情報,農学部

配点25%

易□ 並□ 難□

【1】 不等式 ( x+y) ( x-y+ 4) 0 の表す領域を A とし,不等式 y x2 +4x の表す領域を B とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 領域 A を図示せよ.

(2) 領域 A B の面積を求めよ.

(3) 点 ( x,y ) が領域 A B を動くとき, 4x -y の最大値と最小値を求めよ.また,それらの値をとるときの x y の値もそれぞれ求めよ.

2013 静岡大学 前期

教育,理(生物科,地球科学科),農学部

配点25%

易□ 並□ 難□

【2】  OAB において,辺 OA 1 :2 に内分する点を P OB の長さを 1 内積 OA OB =k とする.このとき,辺 OB 上の点 Q に関して,次の問いに答えよ.

(1)  OQ =s OB 0s 1 のとき, PQ OA OB s を用いて表せ.

(2)  OQ =s OB 0s 1 かつ | PQ |= 1 3 | AB | のとき,等式 9 s2 -6k s+2 k-1 =0 が成り立つことを示せ.

(3)  | PQ |= 1 3 | AB | を満たす点 Q が辺 OB 上にただ 1 つ存在するような k の値の範囲を求めよ.ただし,点 Q が辺 OB 上に存在するとは, Q O または B と一致する場合を含むものとする.

2013 静岡大学 前期

教育,理(生物科,地球科学科),農学部

配点25%

理(数学科)学部【1】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 半径 OA =OB=1 中心角 AOB=2 θ( 0<θ< π2 ) の扇形 OAB に内接し,その 2 辺が弦 AB と平行であるような長方形 PQRS について考える.頂点 P Q は弧 AB 上に,残りの 2 頂点はそれぞれ辺 OA OB 上にあるとして, OPQ= 2α とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 長方形 PQRS の面積を, α θ の三角比を用いて表せ.

(2) 長方形 PQRS の面積が最大になるときの α θ で表せ.

(3)  θ= π 3 のとき,長方形 PQRS の面積の最大値を求めよ.

2013 静岡大学 前期

教育,理(物理,化学,生物科,地球科学科),工,情報,農学部

理(物理,化学科),工,情報学部は【2】

配点25%

理(数学科)学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【4】 次の問いに答えよ.

(1)  n を自然数とするとき,ある自然数 a b を用いて,

( 2+3 )n =a+ 3 b (2 -3 )n =a-b 3

とかけることを,数学的帰納法を使って示せ.

(2) (1)の a b について, a2 -3 b2= 1 が成り立つことを示せ.

(3)  n を自然数とするとき,ある自然数 m を用いて,

( 2+3 )n =m +m- 1 (2- 3) n= m-m -1

とかけることを示せ.

2013 静岡大学 前期

理(物理,化学科),工,情報学部

配点25%

易□ 並□ 難□

【3】  a b を実数とする. 2 次正方行列

X=( a -b ba )

の逆行列が存在するとし, A を等式

AX= (- 2a -2b -2 b2 a)

を満たす 2 次正方行列とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  X-1 A X を求めよ.

(2)  n が正の偶数のとき, An を求めよ.

(3)  n が正の偶数のとき, ( A-1 ) n を求めよ.

2013 静岡大学 前期

理(物理,化学科),工,情報学部

配点25%

易□ 並□ 難□

【4】 関数

c( x)= 1 2 ( e2 x+ e-2 x ) s( x)= 1 2 ( e2x -e -2 x) t (x) = s( x) c( x)

に対して,次の問いに答えよ.

(1)  { c( x) }2 -{ s( x) }2 を計算せよ.

(2) 導関数 c ( x) s ( x) t (x ) を,それぞれ c ( x) または s (x ) を用いて表せ.

(3)  t( log2 ) t ( log3 ) の値を求めよ.

(4) 定積分 log 2log 3 t (x) dx log2 log 3 { t( x) }2 dx を求めよ.

2013 静岡大学 前期

理(数学科)学部

配点25%

教育,理(生物科,地球科学科),農学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 半径 OA =OB=1 中心角 AOB=2 θ( 0<θ< π2 ) の扇形 OAB がある.長方形 PQRS は,扇形 OAB に内接し,その 2 辺が弦 AB と平行であるような長方形の中で面積が最大のものである.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 頂点 P Q が弧 AB 上にあるとして, POQ= 2α とするとき, α θ で表せ.

(2) 長方形 PQRS の面積を θ の三角比を用いて表せ.

(3) 長方形 PQRS が正方形であるときの θ の値を求めよ.

2013 静岡大学 前期

理(数学科)学部

配点25%

教育,理(生物科,地球科学科),農学部【4】,理(物理,化学科),工,情報学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  n を自然数とするとき, ( 2-3 ) n m-m -1 m は自然数)の形で表されることを示せ,

2013 静岡大学 前期

理(数学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x )= e2 x-e -2 x e2 x+ e-2 x に対して,曲線 y =f( x) C とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 極限値 limx f (x ) limx - f( x) および, f (x) =0 を満たす x の値を求めよ.

(2) 曲線 C の概形をかけ.

(3) 曲線 C について,傾きが 2 の接線 l の方程式を求めよ.

(4) 曲線 C (3)で求めた接線 l 直線 x =log 2 によって囲まれた図形 D の面積を求めよ.

(5) (4)の図形 D x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.

2013 静岡大学 前期

理(数学科)学部

易□ 並□ 難□

【4】  n を自然数とする. α を実数とし, A=( α +11 -1 α-1 ) とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  ( A-α E) 2=O であることを示せ.ただし, E 2 次単位行列, O 2 次零行列とする.

(2)  An を求めよ.

(3) 連立 1 次方程式 An ( x y )=( x y ) の解 x y をすべて求めよ.

inserted by FC2 system