2013 浜松医科大学 前期医学部

Mathematics

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2013 浜松医科大学 前期

医学科

配点70点

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=log x+ 1x と曲線 C y=f (x ) x>0 について,以下の問いに答えよ.なお,必要ならば limx logx x=0 を用いてもよい.

(1)  f( x) の導関数 f ( x) と不定積分 f( x) dx をそれぞれ求めよ.

(2) 曲線 C の変曲点を求めよ.

 以下 a 1 より大きい実数とし,点 ( a,f (a ) ) における C の接線を l (a ) とする.

(3) 接線 l (a ) の方程式を求めよ.また, a2 のとき,曲線 C と接線 l (a ) 2 個の共有点(接点と交点)をもつことを示せ.

(4)  a=2 とする.曲線 C 接線 l (2 ) と直線 x =1 x =4 で囲まれた図形の面積を求めよ.

2013 浜松医科大学 前期

医学科

配点65点

易□ 並□ 難□

【2】  |k |<1 または k >1 を満たす実数 k に対し,次の 2 次曲線 C (k ) を考える.

C( k) x 2k+ 1+ y 2k- 1= 1

以下の問いに答えよ.

(1) 点 ( 1,1 ) を通る曲線 C (k ) をすべて求めて,その概形をかけ.

(2) 曲線 C (3 ) が点 ( a,b ) a>0 b>0 を通るとき, a b の間に成り立つ関係式を求めよ.またこのとき,点 ( a,b ) を通る直線 C (k ) k3 の方程式を, b を用いて表し,その焦点を求めよ.

(3) (2)の 2 つの曲線 C (3 ) C (k ) について,点 ( a,b ) における C (3 ) C (k ) の接線をそれぞれ l1 l2 とする. l1 l 2 のなす角度を求めよ.

2013 浜松医科大学 前期

医学科

配点65点

易□ 並□ 難□

【3】 さいころを 4 回投げて, k 回目( k =1 2 3 4 )に出る目の数を X k とする. 1 から 6 までの目は等確率で出るものとするとき,以下の問いに答えよ.

(1)  j k j<k は数の集合 { 1,2, 3,4 } を動くものとする. X1 X2 X3 X4 の中で, Xj= Xk となる組 { j,k } が少なくとも 1 つ存在する事象を A Xj= Xk となる組 { j,k } がただ 1 つ存在する事象を B 同じ目がちょうど 3 つ出る事象を C とする.確率 P (A ) P (B ) P (C ) をそれぞれ求めよ.

(2)  A が起こったときの和事象 B C の条件つき確率 PA ( B C ) を求めよ.

(3)  X1 X2 X3 X4 の値を小さい順に並べ替えて, X( 1) X (2 ) X( 3) X (4 ) を定める.例えば, X1 =3 X 2=2 X3 =6 X 4=2 の場合, X( 1) =2 X (2 )= 2 X (3 )= 3 X (4 )= 6 である.確率 P ( X(1 )= 4) P ( X(1 )= X( 2)= 4) をそれぞれ求めよ.

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