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2013-10471-0101
2013 浜松医科大学 前期
医学科
配点70点
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )=log ⁡x+ 1x と曲線 C :y=f ⁡(x ) ( x>0 ) について,以下の問いに答えよ.なお,必要ならば limx→ ∞ log⁡x x=0 を用いてもよい.
(1) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) と不定積分 ∫ f⁡( x)⁢ dx をそれぞれ求めよ.
(2) 曲線 C の変曲点を求めよ.
以下 a は 1 より大きい実数とし,点 ( a,f⁡ (a ) ) における C の接線を l ⁡(a ) とする.
(3) 接線 l ⁡(a ) の方程式を求めよ.また, a≠2 のとき,曲線 C と接線 l ⁡(a ) は 2 個の共有点(接点と交点)をもつことを示せ.
(4) a=2 とする.曲線 C , 接線 l ⁡(2 ) と直線 x =1 ,x =4 で囲まれた図形の面積を求めよ.
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配点65点
【2】 |k |<1 または k >1 を満たす実数 k に対し,次の 2 次曲線 C ⁡(k ) を考える.
C⁡( k): x 2k+ 1+ y 2k- 1= 1
以下の問いに答えよ.
(1) 点 ( 1,1 ) を通る曲線 C ⁡(k ) をすべて求めて,その概形をかけ.
(2) 曲線 C ⁡(3 ) が点 ( a,b ) ( a>0 , b>0 ) を通るとき, a と b の間に成り立つ関係式を求めよ.またこのとき,点 ( a,b ) を通る直線 C ⁡(k ) ( k≠3 ) の方程式を, b を用いて表し,その焦点を求めよ.
(3) (2)の 2 つの曲線 C ⁡(3 ), C⁡ (k ) について,点 ( a,b ) における C ⁡(3 ), C⁡ (k ) の接線をそれぞれ l1 ,l2 とする. l1 と l 2 のなす角度を求めよ.
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【3】 さいころを 4 回投げて, k 回目( k =1 ,2 , 3 ,4 )に出る目の数を X k とする. 1 から 6 までの目は等確率で出るものとするとき,以下の問いに答えよ.
(1) j ,k ( j<k ) は数の集合 { 1,2, 3,4 } を動くものとする. X1 , X2 , X3 , X4 の中で, Xj= Xk となる組 { j,k } が少なくとも 1 つ存在する事象を A , Xj= Xk となる組 { j,k } がただ 1 つ存在する事象を B , 同じ目がちょうど 3 つ出る事象を C とする.確率 P (A ), P⁡ (B ), P⁡ (C ) をそれぞれ求めよ.
(2) A が起こったときの和事象 B ∪C の条件つき確率 PA ⁡( B∪ C ) を求めよ.
(3) X1 , X2 , X3 , X4 の値を小さい順に並べ替えて, X( 1) ≦X (2 )≦ X( 3) ≦X (4 ) を定める.例えば, X1 =3 ,X 2=2 , X3 =6 ,X 4=2 の場合, X( 1) =2 ,X (2 )= 2 ,X (3 )= 3 ,X (4 )= 6 である.確率 P ⁡( X(1 )= 4) と P ⁡( X(1 )= X( 2)= 4) をそれぞれ求めよ.